伴隨映射

內積空間

內積空間（inner product space）是歐幾里得空間的推廣。設E是域K上的向量空間，（，）是E上的雙線性函式。若（，）滿足下列條件，則E稱為內積空間，（，）稱為內積：

1、對稱性；

2、非退化性；

若E，F是域K上的內積空間，則

也是K上的內積空間。若 dim E=n，dim F=m，

分別是E，F的法正交基，則

是

的法正交基。

伴隨映射也稱之為Hilbert伴隨映射。

設V和W是有限維度內積空間。令L∈￡(V,W)，則唯一存在一個線性映射L'：W→V使得對所有v∈V，w∈W，恆有

我們稱L'為L的Hilbert伴隨映射。

證明：對任意的w∈W，我們令映射f_w：V→F定義為

不難驗證f_w是V上的線性泛函，因此根據Riesz表現定理，存在惟一的向量x∈V使得對所有的v∈V，

因此若我們定義映射L'：W→V為L'w=x，則對所有v∈V

這證明了L'的存在性。惟一性的證明也很容易。因為對所有的v∈V

所以

，這表示L'線性映射，所以L'∈￡(W,V)。

例1，令V=（Cⁿ，C），並考慮Cⁿ的標準內積。令A∈C^n×n，因為

所以

。

例2，令L：R^2×2→R^3×3定義為

，其中A∈R^2×2。

若我們定義M：R^3×3→R^2×2為MB=B₁₁，其中

而B₁₁∈R^2×2。很明顯地，L'=M。