緊開拓撲

在數學中,緊開拓撲是在兩個拓撲空間之間的連續映射集上定義的拓撲。 緊開拓撲結構是功能空間中常用的拓撲結構之一,適用於同倫理論和功能分析。它是由Ralph Fox在1945年提出的。

如果所考慮的函式具有統一的結構或度量結構,則緊開拓撲是“緊湊集合上均勻收斂的拓撲”。 也就是說,當它緊密地收斂在域的每個緊湊子集上時,一系列函式精確地收斂在緊開拓撲中。

基本介紹

  • 中文名:緊開拓撲
  • 外文名:compact-open topology
  • 本質:拓撲結構
  • 意義:映射空間上一類常見的拓撲
  • 特徵:正則空間
  • 相關詞:聯合連續拓撲
簡介,定義,性質,緊開拓撲和聯合連續拓撲的關係,

簡介

緊開拓撲(compact-open topology)一種拓撲結構。是映射空間上一類常見的拓撲。設F為拓撲空間X到拓撲空間Y的映射族,若:
則以集族{W(K,U)|K為X的緊子集,U為Y的開集}為子基在F中生成的拓撲稱為F上的緊開拓撲。由於單點集為緊集,所以F上的緊開拓撲細於F上的點態收斂拓撲。若值域空間Y是豪斯多夫空間,則F上賦予緊開拓撲也是豪斯多夫空間。若Y是正則空間且F中每一元都是連續的,則F上賦予緊開拓撲也是正則空間。

定義

設X、Y為兩個拓撲空間,記C(X,Y)代表X和Y之間所有連續映射的集合。給定X的緊湊子集K和Y的開放子集U,令V(K,U)表示所有函式f∈C(X,Y)的集合,使得f(K)⊂U。然後收集所有 這樣的V(K,U)是C(X,Y)上緊湊開放拓撲的基礎。 (此集合併不總是形成C(X,Y)上拓撲的基礎。)
當在緊湊生成空間的類別中工作時,通常將該定義修改為由作為緊湊豪斯多夫空間的映射K形成的底層來進行修改。 當然,如果X緊湊地產生和豪斯多夫,這個定義與前一個一致。 然而,如果要將緊湊產生的弱豪斯多夫空間的方便類別笛卡爾閉合,其他有用的屬性,修改後的定義是至關重要的。這個定義與上述之間的混淆是由單詞compact的不同用法引起的。

性質

如果*是一個點空間,則可以使用X來識別C(*,X),並且在該標識下,緊開拓撲與X上的拓撲一致。
如果Y是T0,T1,Hausdorff,Regular或Tychonoff,則緊開拓撲具有相應的分離公理。
如果X是Hausdorff,S是Y的子基,則集合{V(K,U):U∈S}是C(X,Y)上的緊開拓撲的子基礎。
如果Y是度量空間(或更一般地,均勻空間),則緊開拓撲等於緊湊收斂的拓撲。換句話說,如果Y是度量空間,則若且唯若對於X的每個緊湊子集K {fn}均勻地收斂於f時,序列{fn}收斂於緊開拓撲中的f。特別地,如果X是緊湊的並且Y是一個均勻的空間,那么緊開拓撲結構等於均勻收斂的拓撲。
如果X,Y和Z是拓撲空間,Y本地緊湊型Hausdorff(或者甚至局部緊湊的規則),則給出組合圖C(Y,Z)×C(X,Y)→C(X,Z)通過(f,g)↦f o g,是連續的(這裡所有的功能空間都是緊湊型開放拓撲,C(Y,Z)×C(X,Y)被賦予乘機拓撲)。
如果Y是局部緊湊的Hausdorff(或不規則)空間,則由e(f,x)= f(x)定義的評估圖e:C(Y,Z)×Y→Z是連續的。這可以看作是上述的特殊情況,其中X是一點空間。
如果X是緊湊的,並且Y是具有度量d的度量空間,則C(X,Y)上的緊湊開放拓撲是可辨別的,並且其的度量由e(f,g)= sup {d f(x),g(x)):x中的x},對於f,g∈C(X,Y)。

緊開拓撲和聯合連續拓撲的關係

定義1 a)設F是
的函式族,令
,對
,使連續的F的不分明拓撲l稱為聯合連續的;b)F的不分明拓撲la,稱為在的子空間才上聯合連續,如果映射
是連續的。
定理1 a)設F是
的函式族,則F上的在
的每個良緊子空間上聯合連續的拓撲l細於F的點態收斂拓撲;b)當是Tj的,則l細於F的緊開拓撲;c)如果是正則,T2的且F的每個成員在的每個良緊子空間上連續,則F的緊開拓撲在的每個良緊子空間上聯合連續。

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