緊開拓撲

在數學中，緊開拓撲是在兩個拓撲空間之間的連續映射集上定義的拓撲。 緊開拓撲結構是功能空間中常用的拓撲結構之一，適用於同倫理論和功能分析。它是由Ralph Fox在1945年提出的。

如果所考慮的函式具有統一的結構或度量結構，則緊開拓撲是“緊湊集合上均勻收斂的拓撲”。 也就是說，當它緊密地收斂在域的每個緊湊子集上時，一系列函式精確地收斂在緊開拓撲中。

基本介紹

• 中文名：緊開拓撲
• 外文名：compact-open topology
• 本質：拓撲結構
• 意義：映射空間上一類常見的拓撲
• 特徵：正則空間
• 相關詞：聯合連續拓撲

簡介

緊開拓撲(compact-open topology)一種拓撲結構。是映射空間上一類常見的拓撲。設F為拓撲空間X到拓撲空間Y的映射族，若：

則以集族{W(K，U)|K為X的緊子集，U為Y的開集}為子基在F中生成的拓撲稱為F上的緊開拓撲。由於單點集為緊集，所以F上的緊開拓撲細於F上的點態收斂拓撲。若值域空間Y是豪斯多夫空間，則F上賦予緊開拓撲也是豪斯多夫空間。若Y是正則空間且F中每一元都是連續的，則F上賦予緊開拓撲也是正則空間。

定義

設X、Y為兩個拓撲空間，記C(X,Y)代表X和Y之間所有連續映射的集合。給定X的緊湊子集K和Y的開放子集U，令V（K，U）表示所有函式f∈C（X，Y）的集合，使得f（K）⊂U。然後收集所有 這樣的V（K，U）是C（X，Y）上緊湊開放拓撲的基礎。 （此集合併不總是形成C（X，Y）上拓撲的基礎。）

當在緊湊生成空間的類別中工作時，通常將該定義修改為由作為緊湊豪斯多夫空間的映射K形成的底層來進行修改。 當然，如果X緊湊地產生和豪斯多夫，這個定義與前一個一致。 然而，如果要將緊湊產生的弱豪斯多夫空間的方便類別笛卡爾閉合，其他有用的屬性，修改後的定義是至關重要的。這個定義與上述之間的混淆是由單詞compact的不同用法引起的。

性質

如果*是一個點空間，則可以使用X來識別C（*，X），並且在該標識下，緊開拓撲與X上的拓撲一致。

如果Y是T0，T1，Hausdorff，Regular或Tychonoff，則緊開拓撲具有相應的分離公理。

如果X是Hausdorff，S是Y的子基，則集合{V（K，U）：U∈S}是C（X，Y）上的緊開拓撲的子基礎。

如果Y是度量空間（或更一般地，均勻空間），則緊開拓撲等於緊湊收斂的拓撲。換句話說，如果Y是度量空間，則若且唯若對於X的每個緊湊子集K {fn}均勻地收斂於f時，序列{fn}收斂於緊開拓撲中的f。特別地，如果X是緊湊的並且Y是一個均勻的空間，那么緊開拓撲結構等於均勻收斂的拓撲。

如果X，Y和Z是拓撲空間，Y本地緊湊型Hausdorff（或者甚至局部緊湊的規則），則給出組合圖C（Y，Z）×C（X，Y）→C（X，Z）通過（f，g）↦f o g，是連續的（這裡所有的功能空間都是緊湊型開放拓撲，C（Y，Z）×C（X，Y）被賦予乘機拓撲）。

如果Y是局部緊湊的Hausdorff（或不規則）空間，則由e（f，x）= f（x）定義的評估圖e：C（Y，Z）×Y→Z是連續的。這可以看作是上述的特殊情況，其中X是一點空間。

如果X是緊湊的，並且Y是具有度量d的度量空間，則C（X，Y）上的緊湊開放拓撲是可辨別的，並且其的度量由e（f，g）= sup {d f（x），g（x））：x中的x}，對於f，g∈C（X，Y）。

緊開拓撲和聯合連續拓撲的關係

定義1 a)設F是到的函式族，令：，對，使連續的F的不分明拓撲l稱為聯合連續的；b)F的不分明拓撲la，稱為在的子空間才上聯合連續，如果映射是連續的。

定理1 a)設F是到的函式族，則F上的在的每個良緊子空間上聯合連續的拓撲l細於F的點態收斂拓撲；b)當是Tj的,則l細於F的緊開拓撲；c)如果是正則，T2的且F的每個成員在的每個良緊子空間上連續，則F的緊開拓撲在的每個良緊子空間上聯合連續。