完全映射

完全映射(perfect mapping)亦稱完備映射,一類重要的映射。設X,Y為拓撲空間,映射f:X→Y。若對於任意y∈Y,f(y)是X的緊集,則稱f為緊映射。若f是緊的、閉的且連續的映射,則稱f為完全映射。

基本介紹

  • 中文名:完全映射
  • 外文名:perfect mapping
  • 領域:數學
  • 學科:函式
  • 別稱:完備映射
  • 性質:一類重要的映射
概念,映射,拓撲空間,緊空間,

概念

完全映射(perfect mapping)亦稱完備映射。一類重要的映射。設X,Y為拓撲空間,映射f:X→Y。若對於任意y∈Y,f(y)是X的緊集,則稱f為緊映射。若f是緊的、閉的且連續的映射,則稱f為完全映射。緊空間到豪斯多夫空間的連續映射是完全映射。在完全映射下緊集的原像是緊集。兩個完全映射的複合映射是完全映射。完全映射在閉集上的限制是完全映射.若fs:Xs→Ys(s∈D)的直積為:
則f是完全映射的充分必要條件是,所有fs是完全映射。在完全映射下,拓撲空間的Ti(i=2,3,4,5,6)分離性是不變性。局部緊性與可度量性也是完全映射的不變性。正則性、緊性、局部緊性是完全映射的逆不變性。完全映射首先由維因希捷依(Baǔнщтeǔн,И.A.)於1947年對於度量空間的情形引入的。勒雷(Leray,J.)與布爾巴基(Bourbaki,N.)於1950-1951年對於局部緊空間情形獨立地引入並研究了完全映射。

映射

在數學裡,映射是個術語,指兩個元素的之間元素相互“對應”的關係,為名詞。映射,或者射影,在數學及相關的領域經常等同於函式。 基於此,部分映射就相當於部分函式,而完全映射相當於完全函式。
兩個非空集合A與B間存在著對應關係f,而且對於A中的每一個元素x,B中總有有唯一的一個元素y與它對應,就這種對應為從A到B的映射,記作f:A→B。其中,b稱為元素a在映射f下的,記作:b=f(a)。a稱為b關於映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合稱為映射f的值域,記作f(A)。
或者說,設A,B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一的元素y與之對應,那么就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的一個映射。
映射,或者射影,在數學及相關的領域還用於定義函式。函式是從非空數集到非空數集的映射,而且只能是一對一映射或多對一映射。
映射在不同的領域有很多的名稱,它們的本質是相同的。如函式,運算元等等。這裡要說明,函式是兩個數集之間的映射,其他的映射並非函式。一一映射(雙射)是映射中特殊的一種,即兩集合元素間的唯一對應,通俗來講就是一個對一個(一對一)。
注意:(1)對於A中不同的元素,在B中不一定有不同的象;(2)B中每個元素都有原象(即滿射),且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象(即單射),則稱映射f建立了集合A和集合B之間的一個一一對應關係,也稱f是A到B上的一一映射。

拓撲空間

歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集,在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間,這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間,1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合,並使用了“鄰域”概念,根據這一概念建立了抽象空間的完整理論,後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代,原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究,並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性,他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後,法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念,使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念,推廣了距離空間,還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間,提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念,他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外,美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性,1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論,為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展,不斷取得新的成果。

緊空間

亦稱緊緻空間。最重要的一類拓撲空間。若拓撲空間X的任意開覆蓋都有有限子覆蓋,則稱X為緊空間。下列條件分別與緊性是等價的:
1.具有有限交性質的閉集族有非空交。
2.具有有限交性質的集族其各成員之閉包的交非空。
3.任意網有聚點。
4.任意濾子有聚點。
5.任意極大濾子是收斂濾子。
平凡空間、有限補空間都是緊空間,但實直線不是緊的。緊性是閉遺傳的且具有可積性。緊空間的連續像是緊空間。緊豪斯多夫空間是正規空間。
緊性概念起源於在1894年被證明的波萊爾定理:閉區間的任意可數開覆蓋有有限子覆蓋。勒貝格(Lebesgue,H.L.)注意到該定理對閉區間的任意開覆蓋同樣成立。波萊爾(Borel,(F.-É.-J.-)É.)於1903年又將此結果推廣到歐氏空間的有界閉子集上。亞尼謝夫斯基(Janiszewski,Z.)於1912年對於抽象空間曾用過緊性概念。緊空間的概念是菲托里斯(Vietoris,I.)於1921年引入的。在緊空間理論形成和發展過程中,庫拉托夫斯基(Kuratowski,K.)和謝爾品斯基(Sierpiski,W.)於1921年,薩克斯(Saks,S.)於1921年,亞歷山德羅夫(Александров,П.С.)和烏雷松(Урысон,П.С.)於1923年,吉洪諾夫(Тихонов,А.Н.)於1930年,都先後作出了卓越的貢獻。

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