完全環

完全環(perfect ring)是一類具有同調性質的環，概念是巴斯(Bass , H.)於1960年研究模範疇的同調性質時引進的。

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。

基本介紹

• 中文名：完全環
• 外文名：perfect ring
• 領域：數學
• 學科：測度論
• 性質：一類具有同調性質的環
• 提出者：巴斯

概念

完全環(perfect ring)是一類具有同調性質的環。設R是環，若任意左R模有投射包，則稱R為左完全的.以下性質是等價的：

1.R是左完全環.

2.R/J(R)是半單的且J(R)是T冪零的.

3.任意平坦左R模是投射的.

4.R的任意右主理想鏈滿足極小條件.

完全環的概念是巴斯(Bass，H.)於1960年研究模範疇的同調性質時引進的。上面的結果也就是著名的巴斯定理。

環

對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

模

一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態a_M：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射μ： A→End(M)，　a→a_M.

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為_AM。類似地，有右A模M，記為M_A。若A有單位元1，且又滿足條件

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉模或麼模，以下設A模都是酉模。

範疇

設C是一個類，對C的任意兩個成員A，B，有一個集合Hom_C(A，B)，其中的元素稱為從A到B的態射，對於f∈Hom_C(A，B)，g∈Hom_C(B，C)，定義它們的乘積gf∈Hom_C(A，C)，如果A≠C或者B≠D，則Hom_C(A，B) ∩Hom_C(C，D) =，對於f∈Hom_C(A，B)，g∈Hom_C(B，C)，h∈Hom_C(C，D)，(hg)f=h(gf)，對C的每個成員A，有一個元素1_A∈Hom_C(A，A)，使得對每個f∈Hom_C(A，B)，g∈Hom_C(B，A)，fl_A=f，l_Ag=g，則稱C是一個範疇，C的成員稱為C的對象。例如，由所有的集合做成的類，以集合之間的映射作為態射，是它做成一個範疇Set。以群為對象，群同態為態射做成的範疇Grp等。一個範疇D稱為範疇C的子範疇，如果D的對象都是C的對象，並且對於D的任意兩個對象A，B，Hom_D(A，B)⊆Hom_c(A，B)。子範疇D稱為滿的，如果對於D的任意兩個對象，Hom_D(A，B) =Hon_c(A，B)。範疇C稱為一個小範疇，如果C是一個集合。

模範疇

一種重要的範疇。指所有以模和模之間的同態組成的範疇。利用範疇的觀點來討論模和環是一種重要方法。若A是環，則所有的左A模組成的類和所有左A模M，N之間的模同態Hom_A(M，N)，以及模的同態的乘法運算法則構成一個範疇，稱為左A模範疇，記為A-Mod。

半完全環

介於完全環與半局部環之間的一類環。設J(R)是環R的雅各布森根，若R/J(R)是半單環，且R/J(R)的冪等元可提升為R的冪等元，則稱R為半完全環。例如，左、右阿廷環、局部環都是半完全環。半完全環是左、右對稱的，從同調論的觀點看，R是半完全環意味著_RR或R_R是半完全模，即它們的任意同態像有投射包。半完全模和完全模是馬雷斯(Mares，E.A.)在研究完全環的推廣時引進的。半完全環還有以下的等價刻畫：

1.任意有限生成R左(右)模有投射包。

2.任意單R左(右)模有投射包。

3.存在R的完全正交冪等元集{e₁，e₂，…，e_n}使得e_iRe_i是局部環。