基本介紹
- 中文名：強仿緊空間
- 外文名：strongly paracompact space
- 別名：星有限空間或S空間
- 領域：數學
- 性質：仿緊空間
- 實例：正則的林德勒夫空間
拓撲性質,拓撲空間,仿緊空間,強仿緊空間,局部緊空間,
拓撲性質
1．X和空集{}都屬於T；
2．T中任意多個成員的並集仍在T中；
3．T中有限多個成員的交集仍在T中。
稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,T）。
稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。
定義中的三個條件稱為拓撲公理。（條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。）
從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。
一般說來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此說到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。
同時，在拓撲範疇中，我們討論連續映射。定義為：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定義的拓撲）是連續的若且唯若開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚若且唯若存在一一對應的互逆的連續映射。同時，映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。
拓撲空間
在拓撲學及其相關的數學分支中，拓撲空間（topological space）是一個點的集合，其部分子集構成一個族滿足一些公理。拓撲空間的定義僅依賴於集合論，是帶有連續，連通，收斂等概念的最基本的數學空間。
設X是一個集合，O是一些X的子集構成的族，則(X,0)被稱為一個拓撲空間，如果下面的性質成立：
1. 空集和X屬於O，
2.O中任意多個元素的並仍屬於O，
3.O中有限個元素的交仍屬於O。
這時，X中的元素成為點（point），O中的元素成為開集（open set）。我們也稱O是X上的一個拓撲。
仿緊空間
仿緊空間是一類重要的拓撲空間。為了討論拓撲空間的可度量化問題，迪厄多內(Dieudonné，J.)於1944年引入仿緊空間的概念。設X為拓撲空間。若X的任意開覆蓋都有局部有限的開覆蓋加細，則稱X為仿緊空間。緊空間是仿緊空間。度量空間也是仿緊空間。反之未必成立。仿緊空間是緊空間的一種最重要的推廣。對於這一類空間的研究，不僅從內容上推廣了緊空間理論，而且較大地發展了覆蓋方法，有力地推動了一般拓撲學的發展，特別是廣義度量空間理論和度量化問題的廣泛進展。另外，仿緊空間在微分流形、代數拓撲和泛函分析中也有重要的套用。仿緊性具有閉遺傳性。仿緊T2空間的閉連續像是仿緊T2的。仿緊T2空間是全體正規空間。全體正規空間是仿緊空間。仿緊T2空間中的Fσ集是仿緊的。在完全映射下，仿緊空間的原像是仿緊的。仿緊空間是亞緊的、可數仿緊的、族正規的。可數緊的仿緊空間是緊空間。林德勒夫空間是仿緊的。斯通(Stone，A.H.)於1948年、麥可(Michael，E.)於1953年給出了仿緊性的幾個等價條件。森田紀一(Morita，K.)和玉野(Tamano，H.)於1960—1962年也分別給出了幾個等價條件。
強仿緊空間
強仿緊空間(strongly paracompact space)亦稱星有限空間或S空間。是一類拓撲空間。設X是拓撲空間，若X的任意開覆蓋都存在星有限開覆蓋加細，則稱X為強仿緊空間。強仿緊空間是仿緊空間。正則的林德勒夫空間是強仿緊空間。強仿緊空間是島克(Dowker，C.H.)於1947年定義的。斯米爾諾夫(Смирнов，Ю.М.)於1956年給出了強仿緊空間的等價條件。卡普蘭(Kaplan，S.)和亞歷山德羅夫(Александров，П.С.)於1947年證明了可分度量空間是強仿緊的。
局部緊空間
定義1 空間X稱為i-型局部緊空間(i=1,2,3),是指它滿足下面的條件:
1)X中每一點都有一個緊鄰域;
2)X中每一點都有一個緊鄰域基;
3)X中每一點x的任意一個鄰域U包含一個開鄰域V,使得V U,且V是緊的.
定義2 空間X稱為i-型局部強仿緊空間(i=1,2,3),是指它滿足下面的條件:
1)X中每一點都有一個強仿緊鄰域;
2)X中每一點都有一個強仿緊鄰域基;
3)X中每一點x的任意一個鄰域U包含一個開鄰域V,使得V U,且V是強仿緊的.
定義3 在空間X中,Y是X的子集.若Y作為X的子空間是強仿緊空間,則稱Y是X的強仿緊子集.顯然強仿緊空間必是1-型局部強仿緊空間,因為強仿緊空間本身是它的任何一點的強仿緊鄰域.由定義2可知,三者之間的關係: 3-型局部強仿緊空間 2-型局部強仿緊空間 1-型局部強仿緊空間。
