林德勒夫空間

林德勒夫空間的概念是亞歷山德羅夫(Александров，П.С.)和烏雷松(Урысон，П.С.)於1929年引入的。一類具有可數性質的拓撲空間。若拓撲空間X的任意開覆蓋都有可數子覆蓋，則稱X是林德勒夫空間。

林德勒夫空間是以芬蘭數學家厄內斯特.萊納德.林德勒夫命名的。

基本介紹

• 中文名：林德勒夫空間
• 外文名：Lindelöf space
• 提出者：亞歷山德羅夫和烏雷松
• 提出時間：1929年
• 本質：具有可數性質的拓撲空間
• 特性：閉遺傳，不具可積性

拓撲空間

在拓撲學及其相關的數學分支中，拓撲空間（topological space）是一個點的集合，其部分子集構成一個族滿足一些公理。拓撲空間的定義僅依賴於集合論，是帶有連續，連通，收斂等概念的最基本的數學空間。

設 是一個集合， 是一些 的子集構成的族，則 被稱為一個拓撲空間，如果下面的性質成立：

1. 空集和 屬於 ，

2. 中任意多個元素的並仍屬於 ，

3. 中有限個元素的交仍屬於。

這時， 中的元素成為點（point）， 中的元素成為開集（open set）。我們也稱 是 上的一個拓撲。

相關可數空間

拓撲空間稱為第二可數的是指它的拓撲有一個可數基。Rn是第二可數空間，因為半徑與球心坐標皆為有理數的一切開球組成Rn上拓撲的可數基。設A是空間x的任一子集。x的子集W 稱為子集A的鄰域是指存在開集U包含A且包含在W內。點x的鄰域即子集{x}的鄰域。由點x的一切鄰域組成的集族Ux叫點的鄰域系。Ux的子族Bx稱為x的鄰域基或局部基是指對於Ux的每個元U，Bx中相應地有元B,使B吇U。如果空間x 的每一點都有一個可數局部基，便稱為第一可數空間。第二可數空間與度量空間都是第一可數空間。

定義及性質

一類具有可數性質的拓撲空間。若拓撲空間X的任意開覆蓋都有可數子覆蓋，則稱X是林德勒夫空間。

林德勒夫空間的主要性質有：

第二可數空間是林德勒夫空間，但林德勒夫空間未必是第一可數空間或第二可數空間。

林德勒夫空間的連續像是林德勒夫空間。

林德勒夫空間是閉遺傳的，但是不具有可積性。正則的林德勒夫空間是正規空間。

林德勒夫性與可分性是互相獨立的。

林德勒夫(Lindelo¨f，E.L.)於1903年證明了n維歐幾里得空間R的任意開子集族含有可數子族具有相同的並。林德勒夫空間的概念是亞歷山德羅夫(Александров，П.С.)和烏雷松(Урысон，П.С.)於1929年引入的。庫拉托夫斯基(Kuratowski，K.)和謝爾品斯基(Sierpiski，W.)曾於1921年討論過林德勒夫性質。

空間的積

林德勒夫空間的積不一定是林德勒夫空間。通常的例子是Sorgenfrey平面 ，這是開放區間拓撲 本身的乘積。 Sorgenfrey平面的開放式設定是包括南西邊緣的半開式矩形，省略了北，東邊緣，包括西北，東北和東南角。的反對角是(x,y)的集合，使 x + y = 0。

考慮 的開放式覆蓋，其中包括：

所有矩形的集合 ，其中(x,y)在對角線上。

所有矩形的集合 ，其中(x,y)在對角線上。

這裡要注意的是，反對角上的每個點都包含在一組覆蓋物中，因此需要這些集合。

看到S不是林德勒夫空間的另一種方法是注意到，對角線定義了一個閉合且不可數的離散子空間S.。這個子空間不是林德勒夫空間，所以整個空間不能是林德勒夫空間（林德勒夫空間的封閉子空間也是林德勒夫空間）。

廣義化

以下定義概括了廣義林德勒夫空間的定義：拓撲空間是 -compact（或 -Lindelöf），其中 是任何主要的，如果每個開放式封面的基數小於 。緊湊型然後是 -compact，而Lindelöf則是-compact。

林德勒夫空間級數是最小的基數，使得空間 X的每個開蓋都具有最大尺寸。在這個符號中，如果，X就是林德勒夫空間。如上定義的林德勒夫空間級數不區分緊湊空間和林德勒夫非緊湊型空間。一些作者給出了林德勒夫空間級數的不同概念：最小的基數，使得空間X的每個開放的封面都具有嚴格小於在後一種（和較少使用的）感覺中，林德勒夫空間級數是最小的基數，使得拓撲空間 X是-compact。這個概念有時也被稱為空間X的緊湊程度。