《C*-代數的Cuntz半群的n-比較性質與插值性質的研究》是依託上海套用技術大學，由徐小明擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：C*-代數的Cuntz半群的n-比較性質與插值性質的研究
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：徐小明
- 依託單位：上海套用技術大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
20世紀70年代，K-理論開始被廣泛套用到C*-代數的分類研究之中。作為K-理論的推廣，C*-代數的Cuntz半群是由C*-代數的矩陣代數中的正元等價類構成的正定且有序的Abelian半群，是新的分類不變數。Cuntz半群的插值性質是刻畫Murray-von Neumann投影半群在Cuntz半群中具體表示的關鍵。鑒於C*-代數分類問題的推動，Cuntz半群已成為C*-代數理論的一個重要研究對象。具有有限順從維數的單C*-代數都可以通過Elliott不變數進行分類，而Cuntz半群的“n-比較”性質是C*-代數具有有限順從維數的一個必要條件。本項目擬從C*-代數的擴張角度研究Cuntz半群的插值性質和“n-比較”性質,進而考慮C*-代數的Murray-von Neumann投影半群在Cuntz半群中的具體表示和C*-代數的順從維數。
結題摘要
Cuntz半群是C*-代數分類理論中的一個重要研究對象。要通過Cuntz半群分類C*-代數，就需要研究Cuntz半群分類C*-代數的存在性定理和唯一性定理。為此，我們研究了C*-代數之間保持 Cuntz比較關係的半線性映射。我們證明了標準C*-代數有限秩正元構成集合之間的半線性滿射雙邊保持Cuntz比較關係若且唯若它雙邊保持Cuntz等價關係，若且唯若它保持有限秩正運算元的秩。同時，我們還具體地給出了一類雙邊保持Cuntz等價關係的半線性滿射。C*-代數的Cuntz半群是Murray-von Neumann投影半群在正元上的推廣，是K-理論的推廣，是新的分類不變數。Perera和Toms的結果表明：Cuntz半群的插值性質是區分Murray-von Neumann投影半群和Cuntz半群的關鍵。我們刻畫了交換C*-代數Cuntz半群的插值性質，給出了交換C*-代數Cuntz半群中元素具有插值性質的充要條件，這推廣了Ara, Perera和Toms的結果。進而，我們研究了一類非交換C*-代數Cuntz半群的插值性質，給出了實秩為0、穩定秩為1、有σ單位元的C*-代數Cuntz半群的插值性質的刻畫。這些關於Cuntz半群插值性質的結論，可以確定Murray-von Neumann投影半群在新分類不變數Cuntz半群中的像集，從而可以區分K0 群與Cuntz半群所包含的分類信息量。我們還研究了運算元理論領域中的主不變子空間問題，證明了一維閉子空間對存在非平凡主不變子空間的充要條件是閉子空間對中的兩個子空間相互垂直，多維閉子空間對（子空間對中的兩個子空間至少有一個子空間的維數不小於2）一定存在非平凡主不變子空間。關於非平凡非退化主不變子空間的存在性問題，我們也證明了類似的結論。
