蓋爾范德映射

蓋爾范德映射是泛函分析中的一個概念。

基本介紹

• 中文名：蓋爾范德映射
• 外文名：Gelfand map
• 所屬學科：泛函分析

定義

設A為含麼元的復巴拿赫代數，且。蓋爾范德映射滿足Γ(f)=，其中為f的蓋爾范德變換。

性質

蓋爾范德映射為從A到C(sp(A))的一個含麼子代數的滿代數同態，且能分離sp(A)的點。

設A為含麼交換巴拿赫代數。對A中任意元f的譜為

相關定理

Gelfand-Naimark定理

定義

設A為含麼元的交換C*代數，X=sp(A)為其蓋爾范德譜。則蓋爾范德映射Γ為A到C(X)的等距*同構。

推導

A中元T=H+iK，其中H與K均為自伴元，故擁有實譜，故Γ(H)與Γ(K)為實的。故有

故Γ為*映射。

由斯通-魏爾斯特拉斯定理，可知Γ為滿射。故Γ為等距同構。

綜上，Γ為A到C(X)的等距*同構。

譜定理

設為希爾伯特空間，T為中的正規運算元，則由T生成的C*代數為交換代數，且的蓋爾范德譜與σ(T)拓撲等價，故蓋爾范德映射是到C(σ(T))的等距*同構。