蓋爾范德譜

蓋爾范德譜是泛函分析的一個概念

基本介紹

• 中文名：蓋爾范德譜
• 外文名：Gelfand spectrum
• 所屬學科：泛函分析

定義

設A為交換復巴拿赫代數，記A的所有特徵標（非平凡復同態）的集合為蓋爾范德譜

性質

若A含單位元，則A的蓋爾范德譜與極大譜有自然的一一對應：特徵的核為極大理想，給定極大理想I可構造特徵標。

給定sp(A)弱*拓撲，由巴拿赫-阿勞格魯定理知，A的對偶空間的閉單位球關於弱*拓撲為緊豪斯多夫空間，故A的蓋爾范德譜為局部緊豪斯多夫空間。若A含有單位元，則蓋爾范德譜為緊豪斯多夫空間。

緊豪斯多夫空間X上的所有復連續函式組成的巴拿赫代數C(X)的蓋爾范德譜與X本身拓撲等價。

設S和T為正規運算元，則S和T代數等價若且唯若其擁有相同的蓋爾范德譜。

相關定理

Gelfand-Naimark定理

定義

設A為含單位元的交換C*代數，X=sp(A)為其蓋爾范德譜。則蓋爾范德映射Γ為A到C(X)的等距*同構。

推導

A中元T=H+iK，其中H與K均為自伴元，故擁有實譜，故Γ(H)與Γ(K)為實的。故有

故Γ為*映射。

由斯通-魏爾斯特拉斯定理，可知Γ為滿射。故Γ為等距同構。

綜上，Γ為A到C(X)的等距*同構。

譜定理

設T為希爾伯特空間中的正規運算元，則由T生成的C*代數為交換代數，且的蓋爾范德譜與σ(T)拓撲等價，故蓋爾范德映射是到C(σ(T))的等距*同構。