斯通-魏爾斯特拉斯定理

斯通-魏爾斯特拉斯定理是泛函分析中的一個定理。

基本介紹

• 中文名：斯通-魏爾斯特拉斯定理
• 外文名：Stone-Weierstrass theorem
• 所屬學科：泛函分析

定義

若X為緊豪斯多夫空間，為C(X)的閉子代數。且有

(1)；

(2)分離點：若且，則存在使得；

(3)若，則；

則=C(X)。

性質

若定義中的(1)不成立，則存在X中一點x₀，使得。

推導過程

要證明該定理，只需證明。

若。由巴拿赫-阿勞格魯定理，為弱*緊的。由端點定理，存在極值點μ。設K為μ的支集。

故|μ|(X\K)=0，且對X上任意連續函式f均成立。由於，，。固定K中x₀，則K={x₀}。

故，=C(X)。