波爾查諾-外爾斯特拉斯定理

波爾查諾－魏爾施特拉斯定理是數學拓撲學與實分析中用以刻劃中的緊集的基本定理，得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯。

基本介紹

• 中文名：波爾查諾-外爾斯特拉斯定理
• 外文名：Bolzano–Weierstrass theorem

簡介

波爾查諾－魏爾施特拉斯定理是數學拓撲學與實分析中用以刻劃 中的緊集的基本定理，得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯。波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理說明，有限維實向量空間 中的一個子集E是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）若且唯若E是有界閉集。

歷史

這個定理最早由伯納德·波爾扎諾證明，當他在證明介值定理時，附帶證明了這個定理，但是他的證明已經散佚。卡爾·魏爾施特拉斯獨自發現並證明了這個定理。波爾扎諾-魏爾施特拉斯定理是實分析中的基本定理。

基礎概念

子列：也稱為子序列。一個序列的一個子列是指在中抽取無窮多個元素，然後按照它們在原來序列里的順序排列起來的序列。嚴格的定義是：如果存在一個從到的嚴格單調遞增的映射，使得，就稱是的一個子列。

有界閉集：中的有界閉集概念建立在給定的拓撲和度量上的。由於在有限維向量空間中所有度量等價，所以可以將視為裝備了歐幾里德度量的度量空間（並且可以定義相應的範數）。的子集E有界，若且唯若所有E中元素x的範數小於一個給定常數K。注意這時對應的拓撲是歐幾里德範數誘導的自然拓撲。

序列緊緻：稱一個集合S是序列緊緻的，是指每個由集合S中元素所組成的數列都包含收斂的子列，並且該子列收斂到集合S中的某個元素。

波爾查諾－魏爾斯特拉斯性質

在有限維度量空間中，波爾查諾－魏爾斯特拉斯說明了序列緊緻的集合就是有界閉集。然而在一般的度量空間中，有界閉集不一定是序列緊緻的。為此，拓撲學中將一般度量空間中的序列緊緻稱為波爾查諾－魏爾斯特拉斯性質。

定義：

設K為度量空間的子集。若K中任一序列都包含一個收斂的子列，其極限也是K中元素，就稱K具有波爾查諾－魏爾斯特拉斯性質。

如果度量空間本身滿足波爾查諾－魏爾斯特拉斯性質，就稱這個度量空間為緊空間。在度量空間中，波爾查諾－魏爾斯特拉斯性質等價于海恩－波萊爾性質：所有K的開覆蓋都有限子覆蓋。