聚點原理

聚點原理

聚點原理(accumulative point principle)亦稱外爾斯特拉斯定理,或波爾查諾-外爾斯特拉斯定理,刻畫實數系R的連續性的常用命題之一。它斷言:R(R或度量空間)的每個有界無窮子集至少有一個聚點。它是外爾斯特拉斯(K.(T.W.).Weierstrass)於1860年得到的,在他的證明中採用了波爾查諾(Bolzano,B.)首創的對分法

基本介紹

  • 中文名:聚點原理
  • 外文名:accumulative point principle
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:數學分析(極限理論)
  • 相關概念:聚點、極限點、有限覆蓋定理等
  • 類型:數學術語
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定理及證明

定理有界無窮點集
至少有一個聚點(極限點)。
此定理叫做聚點原理
證明:
包含在中心位於原點,各邊平行於坐標軸的正方形
內,若
沒有聚點,則對於
中每一點z,存在這樣一個鄰域
使得在這個鄰域內只含
的有限個點,且這些鄰域的全體將
復蓋住,由有限覆蓋定理,在這些鄰域中只要有限個鄰域就將
復蓋住(
當然是有界閉集)。這樣一來,點集
也只有有限個點屬於
,這與
為無窮點集而又完全包含在k內相矛盾。從而定理成立。
聚點的定義
任給
存在無窮多個
滿足
則稱
為複數序列
的一個聚點。
有的序列可以有多個聚點。例如,實數序列
就有兩個聚點1和-1.當序列的極限存在時,序列的極限是此序列的唯一聚點。

推論及證明

推論

在擴充複平面上每一個無窮點集至少有一個聚點(有限點或無窮遠點)。

推論證明

根據假設,對於E來說,只有兩種可能,或者存在某一個圓域:
它含有E的無窮多個點,因而含有E的聚點(由聚點原理得知) ,或者在每一個圓域
內只有E的有限個點,此時在無窮遠點的任意鄰域:
內有E的無窮多個點,因此,
點是E的聚點,從而推論得證。
規定在一個數列中如有某數重複出現無窮多次,則該數也看作數列的聚點,例如數列
中0 是一個聚點,由於1在數列中出現無窮多次,故1也是聚點。按照這個規定,顯然任何有界無窮數列必至少有一個聚點。

有限覆蓋定理

閉集

先介紹閉集的概念。
如果點集E包含它的所有聚點在內,則稱E為閉集

定理介紹

海恩-波萊爾定理(Heine-Borel)假設E為有界閉集,且對E內每一點z都作一個以這一點為圓心的圓域
(這個圓的半徑沒有限制,它可以取任意正實數),則在這些圓中必可以找到有限多個來把有界閉集E復蓋住,換句話說,E的每一點至少屬於這有限個圓域中的一個圓域的內部。此定理又叫做有限覆蓋定理,它是複變函數論里的重要定理。
下面套用數學分析中的矩形套定理來證明有限覆蓋定理。
證明: 如果E是有限集,定理顯然成立。
設E是無限集,則我們用反證法來證明,設Q1為一個各邊平行於坐標軸,以坐標原點為中心的正方形,並且將E包含在內,若定理不成立,則將Q1分成四個全等的正方形時,在這四個正方形上的E的四個子集中至少有一個不能用上述有限個圓心屬於E的圓域所復蓋,我們把這個子集所在的正方形記為Q,並且再把它用同樣方式分成四個全等的正方形,同樣,我們又得到一個正方形Q3,繼續這種分法,我們得到Qn,它包含E的一部分,而且對這一部分來說,我們的定理是不成立的,也就是說,E的這一部分必須用無窮多個圓Kz才能復蓋住,但因這些正方形組成了一個閉正方形套(特殊的矩形域套) :
並且它們的對角線的長分別為
因此,
根據閉矩形套定理,存在唯一一點
屬於所有這些正方形
,於是當n充分大時,在
的任一個鄰域必須包含正方形Q,因而也就包含著E的點,並且是無窮多個點,不然的話,E的這個子集能夠被有限個圓
所復蓋住,但這是不可能的。所以
為E的聚點,因為E為閉集,所以
屬於E,設圓
的半徑為
,選這樣大的一個n,使得正方形
的對角線的長小於
,於是我們得到所有屬於
的E的點都被圓
所復蓋住,但是根據我們最初的假設,必須有無窮個圓
才能把它們復蓋住,這是個矛盾,從而定理得證。
有限覆蓋定理的逆定理也成立。

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