循環表示

循環表示

循環表示是一類簡單的酉表示。任一酉表示是循環表示的直和。

基本介紹

  • 中文名:循環表示
  • 外文名:cyclic representation
  • 所屬學科泛函分析
定義,酉表示定義,拓撲群的酉表示,

定義

設A為巴拿赫*代數,A在希爾伯特空間H上的一個表示π稱為循環表示,若存在H中向量ξ,滿足π(A)ξ為H的稠子集。

酉表示定義

循環表示是一類簡單的酉表示
設 (π,H) 是局部緊群G的一個酉表示,若存在
,使得
生成的子空間在H中是稠密的,則稱π為循環表示,v稱為π的循環向量
任一酉表示是循環表示的直和。

拓撲群的酉表示

(unitary representation of topological group)
拓撲群的酉表示是拓撲群的一類重要表示。局部緊、豪斯多夫群 G 的酉表示是G有一個希爾伯特空間 H 上的表示 𝞹 ,而且滿足:對任意 x∈G,𝞹(x) 是 H 的酉運算元。當 G 為緊群時,對 G 的任一有限維表示 (𝞹,V) 都可以在 V 中引入新內積
使𝞹 成為酉表示,其中
可取 V 中任一個埃爾米特內積。因此,緊群的表示可以歸結為酉表示。
群的酉表示是聯繫群論與其它眾多數學分支的重要工具,其中就包括泛函分析尤其是𝐶*-代數理論。自20世紀20年代起,該理論首先被廣泛套用於量子力學領域。作為該領域的先驅之一,George Mackey在20世紀40-60年代發展了酉表示的一般理論,使其研究對象擴展到一般的群𝐺而不是僅僅針對某些套用的特殊群。

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