Banach代數(泛函分析的一個重要分支)

完備的賦范代數稱為巴拿赫代數（Banach代數），它是泛函分析的一個重要分支，主要研究帶有乘法的賦范線性空間的性質及其套用。

基本介紹

• 中文名：巴拿赫代數
• 外文名：Banach Algebras
• 所屬學科：數學
• 概述：完備的賦范代數
• 本質：特殊的線性空間
• 重要概念：元素的譜

定義

代數

定義1 設 是一個線性空間，稱 是一個代數，若：對 中任意兩個元素 ，規定乘積 ，滿足對 和任意數a，有

（1）結合律 x(yz)=(xy)z；

（2）分配律 x(y+z)=xy+xz,(x+y)z=xz+yz；

（3）a(xy)=(ax)y=x(ay).

註：1）設 是一個代數，如果存在 ，使得

就稱 是代數 的一個單位元。

2）設 是一個代數，如果 ，且 按 的線性運算及乘法仍是一個代數，則稱 是 的一個子代數。

3）設 是一個代數，當 有單位元時，單位元必是唯一的。

4）設 是一個有單位元的代數， 且存在 使得

其中e為 的單位元，則稱b為a的逆。

賦范代數

定義2 設 是一個賦范線性空間，同時又是一個代數，而且

則稱 是一個賦范代數。

註：在賦范代數中，關於乘積範數的性質保證了乘法運算的連續性。實際上，當 時，

Banach代數

定義3 完備的賦范代數稱為Banach代數。

舉例

例1 設X是賦范線性空間，則 （由X到X的有界線性運算元全體）是一個有單位元的賦范代數，X上的恆等運算元I 即為其單位元。當X為Banach空間時， 是Banach代數。

例2 設X是Banach空間， ，

即 是與A可交換的有界線性運算元全體，顯然， 是B（X）的一個子代數，而且是閉的，因而也是一個Banach代數。

例3 設 是緊拓撲空間， 表示 上連續函式全體，對 ，令

則 是一個Banach代數。

套用

譜與譜半徑

對於有限維線性空間上的線性變換，特徵值是一個十分重要的概念。這個概念拓廣到一般的Banach代數中，就是元素的譜。（這裡討論的Banach代數是指復Banach代數。）

定義4 設 是具有單位元 的Banach代數， ， 為複數，如果存在 ，使得

即 可逆，則稱 為x的正則點，稱x的正則點全體為正則集，記作 ；稱非正則點為x的譜點，稱x的譜點全體為x的譜集，記作

定義5 設 是具有單位元 的Banach代數， ，記

稱 為x的譜半徑。

性質

定理1 設 是具有單位元 的Banach代數，則 中可逆元全體是開集，且映射

在可逆元集合上連續。

定理2 設 是具有單位元 的Banach代數， 則 當 時，

且當 時，

定理3 設是具有單位元 的Banach代數， ，則 是開集。對 ，記

則當 時 ，且

定理4 設是具有單位元的Banach代數， ，則 是閉集，且

定理5 設是具有單位元的Banach代數， ，則譜半徑

定理6 設是具有單位元的Banach代數， ，則

定理7 設是Banach代數 的閉子代數， 、有相同的單位元， ，則 為開集。

註：定理1-7的證明見參考文獻[1]的59-64頁。