C*-代數

C*-代數（C*-algebra），讀作“C-星-代數（C-star-algebra）”，其為一個滿足伴隨（adjoint）、對合（involution）性質的巴拿赫代數（Banach algebra），是泛函分析的一個研究對象。

基本介紹

• 中文名：C*-代數
• 外文名：C*-algebra
• 所屬學科：泛函分析、運算元理論
• 讀作：C-星-代數（C-star-algebra）

定性刻畫的兩點補充說明

伴隨（adjoint）：在泛函分析中，希爾伯特空間中的每個線性運算元有一個相應的伴隨運算元。運算元的伴隨將方塊矩陣的轉置共軛推廣到（可能是）無窮維的情形。如果我們將希爾伯特空間上的運算元視為“廣義複數”，則一個運算元的伴隨起著一個複數的共軛的作用。一個運算元的伴隨常常也稱為埃爾米特伴隨（Hermitian adjoint），記作或 （後者尤其用於狄拉克符號記法）。定義連續有界運算元（對於線性運算元，連續必有界），若滿足對全體，有，可得（即的伴隨是連續線性運算元），此時便稱為埃爾米特（物理中譯作“厄米”）或自伴（self-adjoint）。在某種意義下，這種運算元起著實數（等於它們的復共軛）的作用。它們在量子力學中作為實值可觀測量的模型。

對合（involution）：逆函式等於自身的函式，即或。

套用

一般認為 C*-代數主要套用於量子力學中可觀測量的模型代數中。這方面的研究始於 1933 年左右，沃納·海森伯（Werner Heisenberg）創立的矩陣力學，以及帕斯庫爾·約爾當（Pascual Jordan）所研究的、更接近數學發展的形式。之後，馮·諾依曼在他一系列關於運算元環的論文中嘗試建立更廣泛的框架，並將 C*-代數發展至一個高潮。這些論文可看做是一類特殊的 C*-代數，現在稱為馮·諾依曼代數（von Neumann algebra）。

1943 年前後，伊斯拉埃爾·蓋爾范德（Israel Gelfand）和馬可·奈馬克（Mark Naimark）對 C*-代數作出了抽象刻畫，使其不再需要用希爾伯特空間上的運算元進行刻畫。

在當代數學研究中，C*-代數是局部緊群的酉表示理論中的重要工具，同時在量子力學的代數表述中也有套用。另一個活躍的研究領域是對可分單核 C*-代數（separable simple nuclear C*-algebra）的分類，以及確定可被分類的程度。

兩則典型示例

C*-代數的一則典型示例就是復希爾伯特空間上連續線性運算元的復代數，它具有兩個附加性質：①是運算元的範數拓撲（norm topology）中的拓撲閉集；②在取運算元的伴隨運算下是封閉的。

另一類重要的非希爾伯特 C*-代數包括連續函式的代數。

抽象刻畫

以下為 Gelfand 和 Naimark 於 1943年給出的定義。

C*-代數是複數域上的巴拿赫代數及其映射 的組合（中元素關於對合映射 * 的像寫作 ），具有以下性質：

• 映射 為對合映射，且對於中任一元素：

• 對中任意的兩個元素,：

• 對複數域 中任意複數以及中任一元素：

• 對於中任一元素：