對合

在數學中，對合(involution)或對合函式，是自己的逆函式的函式，就是說f(f(x)) = x 對於所有 f 的定義域中的 x。

基本介紹

• 中文名：對合
• 外文名：involution
• 定義：自己的逆函式的函式
• 性質：對合是雙射
• 例子：圓反演、ROT13變換
• 套用學科：數學

概念

在數學中，對合(involution)或對合函式，是自己的逆函式的函式，就是說f(f(x)) =x對於所有f的定義域中的x。

一般性質

對合是雙射。

恆等映射是對合的平凡例子。對合的更有趣的數學中常見的例子包括算術中的乘以 −1 和取倒數，集合論中的補集，和復共軛。

其他例子包括圓反演、ROT13變換，和 Beaufort 多字母表密碼。

在幾何中

三維歐幾里得空間中對合的簡單例子是對一個平面的反射。做兩次反射就回到了起點。

這個變換是仿射對合的特殊情況。

在代數中

線上性代數中，對合是線性運算元 T 使得 T²= I。除了有特徵 2，這種運算元可對角化為在對角線上有 1 和 -1。如果這個運算元是正交的(正交對合)，它是正交可對角化的。

對合有關於冪等；如果 2 是可逆的，(在特徵不是 2 的領域中)，它們是等價的。

在環論中

在環論中，對合通常意味著是自己逆函式的自同態。例子包括復共軛和矩陣的轉置。

在群論中

在群論中，一個群的元素是對合，如果它的階為 2；也就是說，對合是一個元素a，使得 a ≠ e 且 a²= e，其中 e 是單位元。這個定義原來與以上的定義沒有任何不同，因為群的元素總是從一個集合到它本身的雙射，也就是說，“群”的意思是“置換群”。到了 19 世紀末，群的定義變得更加廣泛，相應地，對合也變得更加廣泛。由一個對合通過複合函式生成的雙射群，與循環群 C2 同構。

一個置換是對合，若且唯若它可以寫成一個或多個不重合的對換的乘積。

群的對合對群的結構有很大影響。對合的研究在有限單群分類中是十分有用的。

數理邏輯中

在布爾代數中補運算是對合。因此在經典邏輯中的否定滿足“雙重否定律”:¬¬A等價於 A。

一般在非經典邏輯中，滿足雙重否定律的的否定叫做對合性的。在代數語義中，這樣的否定被實現為在邏輯真值的代數上對合。有對合性否定的邏輯的例子有 Kleene 和 Bochvar 的三值邏輯、Łukasiewicz 多值邏輯、模糊邏輯 IMTL 等。對合性否定有時作為額外的連結詞而增加到有非對合性否定的邏輯中；比如形式模糊邏輯。

否定的對合性是邏輯和對應的代數簇的重要特徵性質。例如，對合性否定從Heyting代數中特徵化出了布爾代數。相應的，經典布爾邏輯可印發自直覺邏輯加上雙重否定律。

在射影幾何中

因為恆同變換在幾何上是無意義的，於是約定這裡討論的對合非恆同。因為在射影幾何中，點線是對偶的，而二次點列有可以有線束過度到點列，所以在此討論點列對合的性質，亦適用於線束和二次點列。

對合的射影幾何判定，（這裡約定P,P'為對應元素，對其他字母亦是如此）(PP',AB)=(P'P,A'B')（交比），對於不變元素EF，有(PP',EF)=-1（調和點列）。對於二次點列的對合，還有一些好的性質。對應元素的連線共點，稱為對合中心，此點為對應射影軸的極點。

如右圖中A,A';B,B';C,C'分別對合，所以它們連線交於公共點O.而對於射影變換,如果A映射到A',B映射到B',那么AB'和A'B的交點在射影軸（直線）上。所以我們看到圖中AB'和A'B的連線的交點在射影軸上，同樣對應的，我們將這些割線退化到切線，得出對於對合變換，對應點的切線的交點也在射影軸上。通常從圓外一點引切線和割線的題目，通常也於二次點列的對合有關。通過配極，還可以得到對應元素的切線交於射影對應軸上。另外還有迪沙格對合定理，它聯繫了直線上的對合變換和二次曲線上的對合變換。即給定二次曲線上一個對合變換和其上一個固定點P，二次曲線上對合的點和P的連線確定過P點的一個線束，於是這個線束同任何固定直線的交點同樣確定這條直線上的對合變換。

圖1.對合

圖2.迪沙格對合定理

如有圖，有橢圓上一點P以及對合的二次點列A,A';B,B';C,C'.連線PA,PA',PB,PB',PC,PC'等交固定直線同樣確定直線上的對合變換：A,A';B,B';C,C。對於直線上對合變換，任取平面上一點X,過定點X和對合的點的圓將過另外一個定點Y(同樣如右圖），更加一般的：二次曲線系（二階線束）交於四定點，每條二次曲線與一不過這四點的定直線的交點是對合的對應元素，其逆定理也成立。當二次曲線退化成直線，則變成完全四點形，當直線經過對邊交點時，則成了完全四點形調和性定律。

對合的總數

在有 n = 0, 1, 2, … 個元素的集合上對合的數目給出自遞推關係:

a(0) = a(1) = 1;

a(n) = a(n − 1) + (n − 1) × a(n − 2), 對於 n > 1.

這個序列的前幾項是 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232