對合分布(involutive distribution)是一類特殊的分布。黎曼幾何的重要概念。指微分流形切叢的一個子叢。黎曼幾何是微分幾何的一個重要分支，由德國數學家黎曼(Riemann，(G.F.)B.)於19世紀中期所開創。他於1854年在哥丁根大學所做的就職演說“關於幾何學基礎的假設”是黎曼幾何的發端。
基本介紹
- 中文名：對合分布
- 外文名：involutive distribution
- 領域：數學
- 別稱：c維分布
- 學科：黎曼幾何
- 性質：特殊的分布
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概念
對合分布(involutive distribution)是一類特殊的分布。Ck流形M上l維對合分布Dl具有下述的特徵性質：對於M的每一個點，都有一個鄰域U及Dl在U上的一組C局部基向量場X1，X2，…，Xl，使得[Xi，Xj](1≤i，j≤l)在U上都屬於Dl。這時也稱分布Dl是對合的。[Xi，Xj]屬於Dl等價於它們都是X1，X2，…，Xl的線性組合，即[Xi，Xj]=μhijXh，μhij∈C(U) (i，j，h=1，2，…，l)。能選到一組局部基向量場使得μhij≡0。分布是對合的也意味著對於任意兩個屬於Dl的Cr向量場X，Y，其李括弧[X，Y]也屬於Dl。
微分流形
微分流形（differentiable manifold），也稱為光滑流形（smooth manifold），是拓撲學和幾何學中一類重要的空間，是帶有微分結構的拓撲流形。 微分流形是微分幾何與微分拓撲的主要研究對象，是三維歐式空間中曲線和曲面概念的推廣，可以有更高的維數，而不必有距離和度量的概念。
具體說來，設M是一個Hausdorff空間。U是M的開集，h是U到n維歐氏空間R的開集(常取為單位球內部或立方體內部等等)上的一個同胚映射，則(U，h)稱為一個坐標圖，U稱為其中點的一個坐標鄰域。設M為開集系{Uα}所覆蓋，則(Uα,hα)的集合稱為M的一個坐標圖冊。如果M的坐標圖冊中任何兩個坐標圖都是C相關的(坐標圖冊應該是極大的，即若任一坐標圖與坐標圖冊中每一個坐標圖都相容則其自身也屬於坐標圖冊)，則稱M有C微分結構，又稱M為n維的C微分流形。C相關是指流形M上同一點的不同坐標之間的變換關係是C可微分的(k=0,1,…,∞或ω)，依通常記號C表示解析函式。具體來說，如p∈Uα∩Uβ,(x,）(x)(i=1,…,n)分別是p在兩個坐標圖(Uα,hα)，(Uβ,hβ)下的(局部)坐標，即那么它們之間的關係式可表為：
如果微分流形M是一個仿緊或緊緻拓撲空間，則稱M為仿緊或緊緻微分流形。如果可選取坐標圖冊使微分流形M中各個坐標鄰域之間的坐標變換的雅可比行列式都大於零，則稱這個流形是可定向的。球面是可定向的，麥比烏斯帶是不可定向的。
同一拓撲流形可以具有本質上不同的微分結構。米爾諾（John Milnor）首先發現作為一個拓撲流形，七維球面上可有不同於標準微分結構的怪異微分結構。後來弗里德曼（Michael Freedman）等得出如下的重要結果：四維歐氏空間中也有多種微分結構，這與其他維數的歐氏空間只有惟一的微分結構有著重大區別。
分布
黎曼幾何的重要概念。指微分流形切叢的一個子叢。流形M上的l維分布Dl是對M的每點指定其切空間中一個l維子空間，即Dl：M→TM，p→Dl(p)Tp(M)，其中Dl(p)是Tp(M)的l維子空間。記：
黎曼幾何
微分幾何的一個重要分支，由德國數學家黎曼(Riemann，(G.F.)B.)於19世紀中期所開創。他於1854年在哥丁根大學所做的就職演說“關於幾何學基礎的假設”是黎曼幾何的發端。後經克里斯托費爾(Christoffel，E.B.)、里奇(Ricci，C.G.)、列維-齊維塔(Levi-Civita，T.)等人進一步完善和發展，成為愛因斯坦(Einstein，A.)於1905年創立廣義相對論的有力數學工具，也使黎曼幾何得以蓬勃發展。嘉當(Cartan，E.)建立的外微分形式和活動標架法，使李群與黎曼幾何溝通起來，為黎曼幾何的發展開闢了廣闊的前途，影響極為深遠。近半個世紀以來，黎曼幾何的研究從“局部”發展到“整體”，產生了許多深刻的並在其他數學分支(如拓撲學、偏微分方程論、多複變函數論等)及理論物理中有重要影響的結果。現在，黎曼幾何已成了現代數學的重要內容之一。
黎曼幾何是黎曼流形上的幾何學，黎曼流形是局部歐氏化的微分流形。設M是n維微分流形，若在每點p∈M的切空間中給定一個光滑依賴於p的歐氏度量gp(即正定數積)，則(M，g)就成為黎曼流形，g稱為黎曼度量。當g與點p無關時，就得到通常的歐氏空間。黎曼的傑出創造之處就在於把度量看成是附加到流形上去的一個結構，一個流形可賦予眾多的黎曼度量。
