有界線性運算元

泛函分析中一種重要的運算元。

運算元(映射)有線性和非線性之分．線性運算元又分為有界和無界兩類，有界線性運算元是線性賦范空問的基本概念。

基本介紹

• 中文名：有界線性運算元
• 外文名：bounded linear operator
• 所屬領域：數理科學
• 反義詞：無界線性運算元

基本定義

①設 是從線性賦范空間 到 的線性運算元。 如果 當存在且有限，則稱 是有界線性運算元，也就是說 將 中的每個有界集映射為 中的有界集。此處 |表示範數， 表示 中定義的範數， 表示 中定義的範數。

②設V1與V2是同一數域K上的賦范線性空間，D是V1的子空間，T:D→V2是一映射．如果T滿足： 、

則稱T是可加的．如果T滿足：

則稱T是齊次的．如果T既是可加的又是齊次的，則稱T是一個線性運算元，其中D稱為T的定義域，記為D(T)，即D(T)=D．如果T是線性運算元且存在常數M>0使得

則稱T為有界線性運算元．特別地，當V2是數域K時，則稱有界線性運算元T為有界線性泛函．

舉例

下面介紹幾個簡單例子．

例l1 設V是賦范空問，定義

則I與θ都是V上(即V到V)的有界線性運算元，分別稱為恆等運算元與零運算元，零

運算元θ常記為0(與數零用同一記號)．

例2 解析幾何中的旋轉變換：

是實二維空間R²上的有界線性運算元，因為

相關概念

有界線性運算元範數

與Ⅳ中向量類似．函式和數列範數同樣是各自所線上性賦范空間的重要度量，它度量了抽象空間中向量的某種“能力”和“強度”，如峰值、能量、絕對均值等。有界線性運算元集合也可以構成自己的線性賦范空間。有界線性運算元也有範數，可度量和描述有界線性運算元的某種映射“功能”“作用”或“過程”等。也就是需要用非負的實數以最簡明的方式來度量和描述線性運算元“功能”。範數不但是重要的數學概念，也是工程技術領域中普遍套用的概念和思維方式。

設X，Y為線性賦范空間，T為X→Y的有界線性運算元，對任何x∈X，稱

為有界線性運算元的範數。當確定了一個最小的非負數M使上式集合中表示條件的等號

成立時，則有

為T對||x||的“放大”倍數．它顯然隨x∈X而變化，在X中遍取x獲取||T(x)||的最大值(最小上界)，則

可以作為有界線性運算元的範數，即有界線性運算元對線性賦范空間X中抽象向量X的範數

||X||的最大“放大”能力。正像衡量運動員百米速度一樣，要記下所有運動員在相同條

件下的比賽成績．以成績作為人類百米賽速度的一種度量，即世界紀錄。對個人來

講，也是用歷次成績的值作為自己的榮耀。

由於T是線性運算元．當x“方向''確定以後．運算元T的“放大''能力應該是

x“方向”上的常數比值，即

上式利用了線性映射齊次性式和範數齊次性。於是，可以規定一個“標準”，||X||

等於某個常數(一般取1)，x成為X中單位球面上的向量，體現了“大小”因素的標準化，

使x僅存方向因素對||T||有影響。於是

即有界線性運算元的範數為對單位球上向量的最大放大量。

相關定理

定理1 設X和Y是同一數域K上的兩個線性賦范空間，D是X中一線性子

空間，T：D→Y為線性運算元，那么

(1)T有界的充要條件是存在正常數μ，使得

(2)T在D上連續的充要條件是T在D的某一點X0上連續;

(3)T為有界運算元的充要條件是T為連續運算元．

定理2 設X和Y是同一數域K上的兩個線性賦范空間，D是X中一線性子空間，T：D→Y為線性運算元，那么

等價形式

設 是從線性賦范空間 到 的線性運算元。則下面命題等價：

1、 是有界線性運算元。

2、 是連續線性運算元。

3、 存在 , 在 處連續。

4、 存在 使得