洛朗運算元

簡介

洛朗運算元是一種正規運算元。

用 T 表示平面上單位圓周，μ為其上規格化的勒貝格測度（即dμ=dm/2π，m為T上勒貝格測度），對每個有界可測函式

，可定義希爾伯特空間 L²(T)上的乘法運算元

。Lφ稱為由φ導出的洛朗運算元。

洛朗運算元Lφ是正規的，相對於L²(T) 中的規範正交基

的（雙邊無限）矩陣表示

是一個洛朗矩陣，即對所有i,j=0,±1,±2,...,都有

，其中

是φ的傅立葉展式，換句話說，洛朗矩陣是平行於主對角線的每個對角線上的元相同的矩陣。

正規運算元是酉運算元和自共軛運算元的推廣。

希爾伯特空間H上的有界線性運算元N如果滿足N*N=NN*，則N稱為正規運算元（或正常運算元）。

正規運算元的譜分解定理是由馮∙諾伊曼於20世紀60年代給出的，它實際上是n維複線性空間上的正規矩陣對角化理論的推廣，也刻畫了正規運算元的結構，由此可以導出正規運算元的許多重要性質。