酉運算元

酉變換是泛函分析和運算元理論中的一個重要概念，傅立葉變換就是酉變換之一例。酉運算元又叫保范運算元，它是歐式空間中旋轉概念在無窮維情況下的推廣；希爾伯特空間的酉運算元是仍保持其內積意義的希爾伯特空間的線性變換。酉運算元具有逆運算元，其逆運算元也是一種酉運算元，且酉運算元和其逆運算元是一對共軛運算元。n階複方陣U的n個列向量是U空間的一個標準正交基，則U是U矩陣；一個簡單的充分必要判別準則是方陣U的轉置共扼距陣乘以U 等於單位陣，則U是U矩陣。

基本介紹

• 中文名：酉運算元
• 外文名：Unitary operator
• 別名：保范運算元，保內積運算元
• 本質：線性運算元
• 重難點：酉運算元的等價形式
• 套用學科：泛函分析、運算元理論

定義

酉運算元又叫保范運算元，它是歐式空間中旋轉概念在無窮維情況下的推廣；希爾伯特空間的酉運算元是仍保持其內積意義的希爾伯特空間的線性變換。酉運算元具有逆運算元，其逆運算元也是一種酉運算元，且酉運算元和其逆運算元是一對共軛運算元。酉變換是泛函分析和運算元理論中的一個重要概念，傅立葉變換就是酉變換之一例。

設，若滿足：

（1）是等距的，即對任意，都有；

（2）是滿射。

則稱為酉運算元。

各種條件

充要條件

設，則為酉運算元等價於：

（1）是滿射且對任意；

（2），即。

證明：

（1）充分性顯然成立，下面證明必要性。

設為酉運算元，即是滿射且等距的，對任意，由極化恆等式得到下述等式：

當是實空間時，有：

當是復空間時，有：

故有。

（2）首先來證必要性。

設為酉運算元，由（1）得，對任意的，有：，

所以得：；

故有：。

因此是單射，因而 存在，且有：。

下面來證充分性。

由等式為滿射，且對，有：

故為酉運算元。證畢。

必要條件

設為酉運算元，則，即酉運算元的譜都在單位圓上。

酉運算元的等價形式

預備知識

在複變函數中，保角映射在理論和套用上都十分重要，而具有保角性和伸縮率不變性的映射即為保角映射，將此概念推廣到無窮維空間，特給出如下定義：

設為線性運算元，

（1）若運算元滿足，則稱運算元為保角運算元；

（2）若運算元滿足，則稱運算元為相似運算元；

（3）若運算元滿足，則稱運算元為第一型保正交運算元；

（4）若運算元滿足，則稱運算元為第二型保正交運算元；

（5）若運算元滿足，則稱運算元為正交不變運算元；

（6）若運算元滿足，則稱運算元為酉運算元，或保內積運算元。

定理內容

設為Hilbert空間，為由到的線性運算元，則關於運算元的如下六個命題為等價命題：

（1）為保角運算元；

（2）為相似運算元；

（3）為第一型保正交運算元；

（4）為第二型保正交運算元；

（5）為正交不變運算元；

（6）為酉運算元。