移位運算元

移位運算元是一種特殊的線性運算元，它將Hilbert空間中規範正交基的每一個基向量的位置向前(後)移動了一位或若干位。移位運算元分為單側移位運算元和雙側移位運算元兩類。加權移位運算元是移位運算元的推廣。

基本介紹

• 中文名：移位運算元
• 外文名：shift operator
• 本質：線性運算元
• 分類：單側、雙側
• 推廣：加權移位運算元
• 領域：數學

定義

移位運算元

定義1 移位運算元（shift operator）：將希爾伯特空間中規範正交基的每一個基向量的位置向前(後)移動一位或若干位的線性運算元。

單側/雙側移位運算元

定義2 設H是復希爾伯特空間，{e_n}_n=0,1,2,...是H的規範正交基，由

所確定的線性運算元S稱為重複度為1的單側移位（或單側平移）運算元。

註：單側移位運算元是次正規運算元。

定義3 設H是復希爾伯特空間，{e_n}_{n=0,±1,±2,...}是H的一個規範正交基，由

所確定的線性運算元稱為重複度為1的雙側移位（或雙側平移）運算元。

定義4 設α是一個基數，α個重複度為1的單（雙）側移位運算元的正交和稱為重複度為α的單（雙）側移位運算元。

註：單、雙側移位運算元統稱為移位運算元。

性質

1.S和U分別是重複度為α的單、雙側移位運算元時，S必是等距運算元，U必是酉運算元，且U必是S的正規擴張(當α有限時還是最小正規擴張).σ(S)={λ||λ|≤1}，σ(U)={λ||λ|=1}.

2.若S和U是重複度為1的移位運算元，則其共軛運算元由

和

確定。

舉例

在 上定義運算元U：

顯然，運算元U是 上的右移運算元。

推廣-加權移位運算元

加權移位運算元（weighted shift operator）是移位運算元的推廣，定義如下。

定義5 設H是希爾伯特空間，{e_n}_n=0,1,2,...是H的規範正交基，{w_n}_n=1,2,...是一個數列，則由

確定的線性運算元稱為單側加權移位算子；而{wn}_n=1,2,...稱為S的權序列。

設{e_n}_{n=0,±1,±2,...}是H的規範正交基，類似可定義權序列為{w_n}_{n=0,±1,±2,..}的雙側加權移位運算元W：

注：1.單、雙側加權移位運算元統稱加權移位運算元。

2.若S和W是重複度為1的加權移位運算元，則S和W的共軛運算元由

和

確定。