共軛線性運算元（conjugate linear operator）是由線性運算元誘導出的共軛空間之間的運算元。
基本介紹
- 中文名：共軛線性運算元
- 外文名：conjugate linear operator
- 適用範圍：數理科學
簡介,性質,套用,
簡介
共軛線性運算元是由線性運算元誘導出的共軛空間之間的運算元。
設X,Y為賦范線性空間，T是X到Y的稠定線性運算元。記𝒟* =
，存在g∈X*，使對一切x∈𝒟(T)，g(x)=f(Tx)成立}，這裡g由f惟一確定，𝒟*是Y*的線性子空間，在D*上定義運算元T*:T*f=g，T*是以𝒟*為定義域的到X*的線性運算元，並稱為T的共軛運算元，也稱為T的對偶線性運算元或伴隨線性運算元。
性質
當T是有界線性運算元時，T*也是有界的，並且‖T*‖= ‖T‖。有界線性運算元的共軛運算元有如下基本性質：
(TS)* = S*T*；
(T-1)* = (T*)-1。
套用
當X,Y是內積空間時，T的共軛運算元T*是指滿足(Tx,y)=(x,T*y)的線性運算元。內積空間的共軛運算元是線性代數中轉置共軛矩陣概念的推廣，它與賦范空間上共軛運算元的性質的區別僅在於
（α,β是數）。特別地，當X=Y是希爾伯特空間時有：
1.若A∈𝓑(X),則A*∈𝓑(X)；
2.A**=A；
3.‖A*A‖= ‖A‖2；
4.ker(A)=𝓡(A*)⊥，ker(A*)= :𝓡(A)⊥，這裡的ker(A)為運算元A的零空間。
賦范空間中共軛運算元是線性代數中轉置矩陣概念的推廣，所以自然地在研究方程Tx=y時它起著重要作用。
