共軛映射

設V，W都是Ω上的有限維內積空間。若σ是V到W的一個線性映射，則恰有W到V的一個線性映射σ*與之對應，叫作σ的共軛映射，使對任意v∈V，w∈W，有σ(v)w=vσ*(w)。

基本介紹

• 中文名：共軛映射
• 外文名：Conjugate mapping
• 學科：數學
• 套用領域：線性代數，計算機等
• 別稱：共軛運算元

定義

共軛映射存在定理

設V，W都是Ω上的有限維內積空間。若σ是V到W的一個線性映射，則恰有W到V的一個線性映射σ*與之對應，叫作σ的共軛映射，使對任意 ，有

證明

設 是V的一個標準正交基底，對任意 ，定義

易驗證σ*是W到V的一個線性映射，對任意 ，又因 ，於是有

設 ，若對任意都有 ，則 。於是，若 對任意 都有 ，則 _。對稱地，設 ，若對任意 都有 ，則 ；若對任意 都有 ，則 _。則由此可說明σ*的唯一性_。

證明完畢。

顯然有 ，從而可以說σ與σ*互為共軛映射。

共軛轉置矩陣

設 與 分為Ω上內積空間V與W的標準正交基底，則當

時有

其中A*為矩陣A的共軛轉置矩陣，即 。

證明

記 而σ*在 與 下對應的 ，於是有

從而有

於是有 ，證明完畢。

推論

1.設σ是Ω上有限維內積空間V的線性變換，如果 ，則說σ是規範的，如果 ，則說σ是自共軛的，而當Ω為實數域時說σ是對稱的，當Ω為複數域時說σ是Hermite的，如果σ可逆且 ，則當Ω為實數域時說σ是正交變換，而當Ω為複數域時說σ是U變換。

系設 是Ω上內積空間y的一個標準正交基底，σ是V的一個線性變換，

，

則：

（1）σ為規範的充分必要條件是 ，此時稱矩陣A是規範的。

（2）σ為對稱（Hermite）的充分必要條件是 ，當Ω為複數域時稱A為Hermite的。

（3）σ為正交（U）的充分必要條件是 。

2.設A為一規範矩陣，其第r行元素除對角線元素外都為零，則第r列元素也是這樣。

3.設σ為n維內積空間v的一個線性變換，則下列條件等價：

（1）σ是正交（U）變換；

（2）σ在V的任意標準正交基底下對應正交(U)矩陣；

（3）σ把V的每個標準正交基底都變成標準正交基底；

（4）σ不變向量的長度；

（5）σ不變向量的內積。

共軛映射的個數

設F是一個域，Ω是F的一個代數閉包。K是擴張Ω/F的一個中間域。K到Ω內的一個，F-同態單射叫做K到Ω內的一個F-共軛映射，簡稱為F-共軛。設是一個F-共軛。那么σ(K)也是Ω/F的一個中間域，並且σ(K)與K是F-共軛的。

令A是K到Ω內的一切F-共軛所成的集。我們把A的基數（K的F-共軛的個數）記作。

不依賴於代數閉包Ω的選取。事實上，設Ω和Ω’都是F的代數閉包並且都包含K。那么存在F-同構映射。令A和A’分別是K到Ω內的F-共軛和K到Ω’內的F-共軛所成的集。對於任意，則 。反過來，對於任意，則 。因此，

是A到A’的雙射，從而。因此，對於代數擴張K/F來說，我們任意取定F的一個包含K的代數閉包Ω，而把K到Ω內的F-共軛的個數記作。