共軛矩陣

埃爾米特矩陣又稱自共軛矩陣、Hermite陣。Hermite陣中每一個第i 行第j 列的元素都與第j 行第i 列的元素的共軛相等（然而矩陣A的共軛矩陣並非Hermite陣）。自共軛矩陣是矩陣本身先轉置再把矩陣中每個元素取共軛得到的矩陣。

基本介紹

• 中文名：共軛矩陣
• 外文名：conjugate matrix
• 別稱：自共軛矩陣、Hermite陣

基本信息

當為復矩陣時，用表示a的共軛複數，記，則為A的共軛矩陣。埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對其主對角線以復共軛方式對稱, 即是

共軛矩陣表達式

對於

有：

為共軛算符。

記做：

例如：

就是一個Hermite陣。

顯然，Hermite陣主對角線上的元素必須是實數。對於只包含實數元素的矩陣（實矩陣），如果它是對稱陣，即所有元素關於主對角線對稱，那么它也是Hermite陣。也就是說，實對稱陣是Hermite陣的特例。

性質

若A 和B 是Hermite陣，那么它們的和A+B 也是Hermite陣；而只有在A 和B滿足交換性（即AB = BA）時，它們的積才是Hermite陣。

可逆的Hermite陣A 的逆矩陣A-1仍然是Hermite陣。

如果A是Hermite陣，對於正整數n，An是Hermite陣.

方陣C 與其共軛轉置的和 是Hermite陣.

方陣C 與其共軛轉置的差 是skew-Hermite陣。

任意方陣C 都可以用一個Hermite陣A 與一個skew-Hermite陣B的和表示:

Hermite陣是正規陣，因此Hermite陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味著Hermite陣的特徵值都是實的，而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交，因此可以在這些特徵向量中找出一組Cn的正交基。

n階Hermite方陣的元素構成維數為n2的實向量空間，因為主對角線上的元素有一個自由度，而主對角線之上的元素有兩個自由度。

如果Hermite陣的特徵值都是正數，那么這個矩陣是正定陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定陣。

共軛矩陣滿足下述運算規律（設A，B為復矩陣，λ為複數，且運算都是可行的）；

（1）右側圖中第一行

（2）右側圖中第二行

（3）右側圖中第三行

序列

Hermite序列（抑或Hermite向量）指滿足下列條件的序列ak（其中k = 0, 1, …, n）：

若n 是偶數，則an/2是實數。

實數序列的離散傅立葉變換是Hermite序列。反之，一個Hermite序列的逆離散傅立葉變換是實序列。