完全正線性泛函

當𝓑為複數域C時，n正線性映射和完全正線性映射分別稱為n正線性泛函和完全正線性泛函。

基本介紹

• 中文名：完全正線性泛函
• 外文名：completely positive linear functional
• 適用範圍：數理科學

簡介

正線性映射

C*代數上正線性映射是正元的像仍為正元的線性映射。正線性映射和完全正線性映射是研究C*代數理論的重要工具。

設𝓐,𝓑是兩個C*代數，φ:𝓐→𝓑為線性映射。如果對每個正元a∈𝓐，φ(a)都是𝓑中的正元，則稱φ為正線性映射。對於正整數n，𝓐上n階矩陣全體記為𝓐⊗M_n= {(a_ij)_nxn|a_ij∈𝓐}，它仍是C*代數。

令φ_n:𝓐⊗M_n→𝓑⊗M_n為如下定義的線性映射:φ_n((a_ij)_nxn)= (φ(a_ij))_nxn。如果φ_n是正的，則稱φ是n正的；如果對每個正整數n,p都是n正的，則稱φ為完全正的。

定義

當𝓑為複數域C時，n正線性映射和完全正線性映射分別稱為n正線性泛函和完全正線性泛函。

C*代數

C*代數是一類重要的巴拿赫∗代數。設R是巴拿赫∗代數，如果對R的每個元都有||x*x||=||x||2成立，則稱R為C*代數。

當C*代數有單位元e時，則||e||=1自動成立。若R沒有單位元，做擴張，並在成為有單位元(1,0)的C*代數。這裡L(λ₀,x₀)表示中引入範數||(λ,x)||=||L(λ,x)||，則上運算元(λ,x)→(λ₀,x₀)(λ,x)。

C*代數是蓋爾范德（部分與奈瑪克合作）等於20世紀40年代提出並做了系統而精美的研究，它在抽象調和分析、量子物理等領域中有重要作用。