群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
代數閉群(algebraically closed group)是一類特殊的群。它將代數閉域概念引申到群方程組。若G是代數閉群，則F[G]是本原環且G的增廣理想ωF(G)是惟一極大理想。
基本介紹
- 中文名：代數閉群
- 外文名：algebraically closed group
- 領域：代數
- 性質：特殊的群
- 意義：將代數閉域概念引申到群方程組
- 提出者：斯科特
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概念介紹
代數閉群(algebraically closed group)是一類特殊的群。它將代數閉域概念引申到群方程組。設G是群，W(xi，gk)表示變數xj(j=1，2，…，t)與G中元gk的一個字。群G稱為代數閉群是指對字方程和字不等式的每一個有限組：
Wi(xi，gk)=1 (i=1，2，…，r)，
W-i(xj，gk)≠1 (i=r+1，…，t)，
在群G與G的某個擴群中同時有解或無解。它是由斯科特(Scott，W.R.)於1951年引入的。它的重要性在於每一個群都能嵌入到某個代數閉群。若G是代數閉群，則F[G]是本原環且G的增廣理想ωF(G)是惟一極大理想。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群；時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
代數閉域
域是代數學的基本概念之一.即具有兩個運算的代數系。設F是至少含兩個元的集合，在F中定義了兩個二元運算：一個稱加法，使F成為加群，它的單位元稱為F的零元；一個稱乘法，使F的非零元構成一個交換群，加法與乘法滿足分配律，此時稱F為域。例如，全體有理數、全體實數和全體複數在通常的加法與乘法下都構成域，分別稱為有理數域、實數域和複數域。域是許多數學分支研究的基礎，尤其對代數、代數數論、代數幾何等更為重要。
代數閉域是一類重要的域。指次數大於1的多項式均可分解的域。若域K上多項式環K[x]中的每一個次數大於零的多項式在K中都有一個根，則稱K為代數閉域。從而在K[x]中每個次數大於零的多項式能分解為一次因式之積。1910年，施泰尼茨(Steinitz，E.)在他發表的基本論文中首先證明：每個域都可以經代數擴張得到一個代數閉域。
人物簡介
斯科特是美國代數學家。生於俄亥俄州的布羅明堡，卒於鹽湖城。1940年畢業於俄亥俄州立大學，1941年獲該校碩士學位，1947年獲該校哲學博士學位。1949—1965年在堪薩斯大學教數學，先為助理教授，後升為教授;1965年起任猶他大學數學教授。1955—1956年為國家科學基金會資助研究人員，1970年起兼任落磯山(Rocky Mountain)數學雜誌總編輯。主要研究群論，1964年發表專著《群論》(Group Theory)。
性質
本原環
本原環是一類重要的環。研究雅各布森根時引入的，其後被廣泛討論與套用。若環R有一個忠實右(左)R單模(即忠實既約右(左)R模)，則稱R為右(左)本原環.通常將右本原環簡稱本原環。一般說來，左本原環未必是本原環，但當R有極小單側理想時，左本原性與本原性一致.任何本原環皆為素環。雅各布森(Jacobson，N.)引入本原環來代替有限條件下的單環，從而得出在沒有有限條件限制下的一般半單環的結構定理，這是環論的重大發展。
極大理想
極大理想是一類特殊理想。設a是環R的左(右)理想，若a≠R且R中沒有真正包含a的左(右)理想，則稱a為R的一個極大左(右)理想。類似地，可定義極大理想.任意有單位元的環一定有極大理想。a是R的極大理想若且唯若R/a是單純環。若R是有1的交換環，則a是R的極大理想若且唯若R/a是域。極大理想在局部環的研究中尤為重要。
極大理想也是巴拿赫代數中的一個重要概念。設R是有單位元e的交換巴拿赫代數，M是R的一個真子代數。如果對ᗄx∈M，y∈R，都有xy∈M，則稱M是R的一個理想(或幻)。如果對任何理想M′，由M′⊃M可推出M′=R，則稱M為R中的極大理想。極大理想必是閉的。R中任何一個非正則元都含於某一理想中，且任一理想都包含於某一極大理想中。設M是R的極大理想，則商空間R/M同構於複數域.由哈恩-巴拿赫延拓定理，存在R上的連續線性泛函fM≠0，使fM(M)=0，且fM是R上的可乘線性泛函。反之，對R上任一可乘線性泛函f，其零空間Mf={x|f(x)=0}是R的一個極大理想，從而R中的極大理想與R上可乘線性泛函之間形成一一對應關係。這種對應關係在交換巴拿赫代數的表示理論中起重要作用。
