雅各布森根

雅各布森根

抽象代數之分支環理論中,一個環 R雅各布森根(Jacobson radical)是 R 的一個理想,包含在某種意義上“與零接近”的那些元素。雅各布森根是雅各布森(Jacobson,N.)於1945年引入的。

基本介紹

  • 中文名:雅各布森根
  • 外文名:Jacobson radical
  • 創始人:雅各布森
  • 創始時間:1945
  • 套用學科:抽象代數
  • 表達式:J(R)
定義,例子,性質,

定義

雅各布森根記做 J(R) 可用如下等價的方式定義:
  • 所有極大左理想之
  • 所有極大右理想之交。
  • 所有單左R-模的零化子之交。
  • 所有單右R-模的零化子之交。
  • 所有左本原理想(primitive ideal)之交。
  • 所有右本原理想之交。
  • {xR: 對任何rR存在uR使得u(1-rx) = 1 }
  • {xR: 對任何rR存在uR使得 (1-xr)u= 1 }
  • 如果R可交換,R的所有極大理想之交。
  • 最大理想I使得對所有xI, 1-xR中可逆。
注意,最後一個性質不意味著R中使 1-x可逆的任何元素x都是 J(R) 的一個元素。
另外,如果R不可交換,則 J(R) 不必等於R中所有雙邊極大理想之交。
雅各布森根也能對沒有恆同元素(或說單位)的環定義。參見 I. N. Herstein 所著《Noncommutative Rings》。
雅各布森根以內森·雅各布森(Nathan Jacobson)命名,他最先研究了雅各布森根。

例子

  • 任何的雅各布森根是 {0}。整數的雅各布森根是 {0}。
  • Z/8Z的雅各布森根是 2Z/8Z
  • 如果K是一個域,R是所有元素位於K中的上三角n×n矩陣環,則 J(R) 由主對角線為零的所有上三角矩陣組成。
  • 如果K是域,R=K[[X1,...,Xn]] 是形式冪級數環,則 J(R) 由常數項為零的所有冪級數組成。更一般地,任何局部環的雅各布森根由這個環的非單位環組成。
  • 由一個有限箭圖quiver)Γ 與一個域K開始,考慮箭圖代數KΓ (在箭圖一文有具體說明)。這個環的雅各布森根由 Γ 中所有長度 ≥ 1 的道路生成。
  • 一個C*-代數的雅各布森根是 {0}。這得自蓋爾范德-奈馬克定理(Gelfand–Naimark theorem)以及關於 C*-代數的事實,一個希爾伯特空間上的拓撲不可約 *-表示是代數不可約的,從而其核在純代數意義上是一個本原理想。

性質

  • 除非R是平凡環 {0},雅各布森根總是R中不等於R的理想。
  • 如果R可交換有限生成Z-模,則 J(R) 等於R的詣零根(nilradical)。
  • R/J(R) 的雅各布森根等於零。具有零雅各布森根的環稱為半本原環(semiprimitive ring)。
  • 如果f:RS是一個滿環同態,則f(J(R)) ⊆ J(S)。
  • 如果M是一個有限生成左R-滿足 J(R)M=M,則M= 0(中山引理)。
  • J(R) 包含R的每個詣零理想(nil ideal)。如果R是左或右阿廷環,則 J(R) 是一個冪零理想(nilpotent ideal)。注意,但是一般雅各布森根不必由環中冪零元素組成。
  • R是半單環若且唯若它是阿廷環且其雅各布森根為零。

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