雅各布森根

在抽象代數之分支環理論中，一個環 R 的雅各布森根（Jacobson radical）是 R 的一個理想，包含在某種意義上“與零接近”的那些元素。雅各布森根是雅各布森(Jacobson,N.)於1945年引入的。

基本介紹

• 中文名：雅各布森根
• 外文名：Jacobson radical
• 創始人：雅各布森
• 創始時間：1945
• 套用學科：抽象代數
• 表達式：J(R)

定義

雅各布森根記做 J(R) 可用如下等價的方式定義：

• 所有極大左理想之交。
  
• 所有極大右理想之交。
  
• 所有單左R-模的零化子之交。
  
• 所有單右R-模的零化子之交。
  
• 所有左本原理想（primitive ideal）之交。
  
• 所有右本原理想之交。
  
• {x∈R: 對任何r∈R存在u∈R使得u(1-rx) = 1 }
  
• {x∈R: 對任何r∈R存在u∈R使得 (1-xr)u= 1 }
  
• 如果R可交換，R的所有極大理想之交。
  
• 最大理想I使得對所有x∈I， 1-x在R中可逆。
  

注意，最後一個性質不意味著R中使 1-x可逆的任何元素x都是 J(R) 的一個元素。

另外，如果R不可交換，則 J(R) 不必等於R中所有雙邊極大理想之交。

雅各布森根也能對沒有恆同元素（或說單位）的環定義。參見 I. N. Herstein 所著《Noncommutative Rings》。

雅各布森根以內森·雅各布森（Nathan Jacobson）命名，他最先研究了雅各布森根。

例子

• 任何域的雅各布森根是 {0}。整數的雅各布森根是 {0}。
  
• 環Z/8Z的雅各布森根是 2Z/8Z。
  
• 如果K是一個域，R是所有元素位於K中的上三角n×n矩陣環，則 J(R) 由主對角線為零的所有上三角矩陣組成。
  
• 如果K是域，R=K[[X₁,...,X_n]] 是形式冪級數環，則 J(R) 由常數項為零的所有冪級數組成。更一般地，任何局部環的雅各布森根由這個環的非單位環組成。
  
• 由一個有限箭圖（quiver）Γ 與一個域K開始，考慮箭圖代數KΓ （在箭圖一文有具體說明）。這個環的雅各布森根由 Γ 中所有長度 ≥ 1 的道路生成。
  
• 一個C*-代數的雅各布森根是 {0}。這得自蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand–Naimark theorem）以及關於 C*-代數的事實，一個希爾伯特空間上的拓撲不可約 *-表示是代數不可約的，從而其核在純代數意義上是一個本原理想。
  

性質

• 除非R是平凡環 {0}，雅各布森根總是R中不等於R的理想。
  
• 如果R可交換有限生成Z-模，則 J(R) 等於R的詣零根（nilradical）。
  
• 環R/J(R) 的雅各布森根等於零。具有零雅各布森根的環稱為半本原環（semiprimitive ring）。
  
• 如果f:R→S是一個滿環同態，則f(J(R)) ⊆ J(S)。
  
• 如果M是一個有限生成左R-模滿足 J(R)M=M，則M= 0（中山引理）。
  
• J(R) 包含R的每個詣零理想（nil ideal）。如果R是左或右阿廷環，則 J(R) 是一個冪零理想（nilpotent ideal）。注意，但是一般雅各布森根不必由環中冪零元素組成。
  
• R是半單環若且唯若它是阿廷環且其雅各布森根為零。