形式冪級數

在形式冪級數中，x從來不指定一個數值，且對收斂和發散的問題不感興趣，感興趣的是係數序列（a(0),a(1),...,a(n),...），我們研究形式冪級數完全可以歸結為討論這些係數序列，且這些係數序列又可看作含有分量a(0),a(1),...,a(n),...的無窮矢量，係數a(0)稱為級數的常數係數。用近世代數的語言來講，形式冪級數形成一個環，這個環對加法有零元（用0表示），對乘法有單位元（用1表示），如果從某項以後，形式冪級數的所有係數全為零，它被稱為形式多項式。

基本介紹

• 中文名：形式冪級數
• 外文名：formal power series
• 特殊形式：形式多項式
• 其它描述：它形成一個環且有零元、單位元
• 運算：相等、加法、乘積
• 套用學科：組合數學、數論

定義

形式冪級數是一個數學中的抽象概念，是從冪級數中抽離出來的代數對象。形式冪級數和從多項式中剝離出來的多項式環類似，不過允許（可數）無窮多項因子相加，但不像冪級數一般要求研究是否收斂和是否有確定的取值。形式冪級數在代數和組合理論中有廣泛套用。

設x是一個符號， 為實數，則 稱為以x為未定元的一個形式冪級數。約定：如果在形式冪級數 中某個 ，則 可略去。

在形式冪級數中，x從來不指定一個數值，且對收斂和發散的問題不感興趣，感興趣的是係數序列(a(0),a(1),...,a(n),...)，我們研究形式冪級數完全可以歸結為討論這些係數序列，且這些係數序列又可看作含有分量a(0),a(1),...,a(n),...的無窮矢量，係數a(0)稱為級數的常數係數。

運算

我們把形式冪級數看做是收斂的並在其上作代數運算。

已知兩個形式冪級數 ，則兩級數之間可進行如下運算：

相等

若對所有的n>0，有a(n)=b(n)，則稱兩形式冪級數相等，有A(x)=B(x)。

和

兩形式冪級數的和定義為： 。兩形式冪級數的和運算滿足交換律和結合律。

乘積

兩形式冪級數的乘積定義為： ，稱序列{c(n)}為序列{a(n)}與序列{b(n)}的柯西乘積。兩形式冪級數的乘積運算對加法滿足分配律。

逆元

定義

設有形式冪級數，若存在形式冪級數，使得，則稱B(t)是A(t)的一個逆元。

定理

形式冪級數有逆元的充分必要條件是，且若A(x)有逆元，則逆元必唯一。

證明：設A(x)有逆元，因為，所以，從而對任何一個自然數n，有：

因為，所以，把看成未知數，則上述方程組的係數行列式的值。由克萊姆法則可知，若A(x)有逆元，則且逆元唯一。

反之，設，令，則，且，於是，令，則，故是A(x)的逆元，也就是說當時，有逆元。