阿佩爾序列

定義

阿佩爾序列滿足以下關係：

其中的p₀(x) 是非零常數。

除了一些平凡的例子如 {x} 以外，最值得注意的阿佩爾序列是埃爾米特多項式、伯努利多項式以及歐拉多項式。所有的阿佩爾序列都是謝弗序列，但要注意的是絕大多數謝弗序列都不是阿佩爾序列。

最常見的阿佩爾序列的定義就是以上的

對所有的n= 1, 2, 3, ...,

並且p₀(x) 是一個非零常數

的關係式。此外，以下的條件也可以被驗證是與之等價的：

純數數列 {c_n}_n_=0,1,2,...滿足c₀≠0，並且

其中

對所有的n= 0, 1, 2, ...,

假設

其中後一個等式是在以x為不定元的多項式構成的線性空間中的線性運算元S的定義式。並定義：

為S的逆運算元，其中的係數ak是形式冪級數的逆係數。這樣得到

在影子演算的約定中，運算元T一般被用來代表阿佩爾序列 {pn}，可以定義對數運算元：

運用通常的 log(1+x) 的冪級數展開表達式以及通常的複合形式冪級數定義後，可以得到：

當阿佩爾序列是埃爾米特多項式的時候，這個關係式也可以變化為埃爾米特多項式的遞推公式。