基本介紹
- 中文名：半本原環
- 外文名：semiprimitive ring
- 適用範圍：數理科學
簡介,左本原環,雅各布森根,
簡介
左本原環
[left primitive ring]
對於環 R ，若存在忠實單左 R 模，則稱 R 為左本原環。左阿廷環為左本原環若且唯若其為單環，若且唯若其為素環。
設 M 是除環 D 上的右向量空間，R為End（
）的子環。若對於任意正整數 n 及 M 中任意兩組元素
及
其中 是D- 線性無關的，都有
使得
則稱 R 是 M 上的稠密線性變換環（dense ring of linear transformations）。
雅各布森稠密性定理（Jacobson's density theorem）：
設 R 為左本原環，M 為忠實單左 R 模，
，則 R 是
上的稠密線性變換環。
若環 R 的理想 P 滿足 R/P 為左本原環，則稱 P 為 R 的左本原理想（left primitive ideal）。類似地，可定義右本原環（right primitive ring）、右本原理想（right primitive ideal）。
左（右）本原理想恰為一左（右）單模的零化子。若環 R 沒有左（右）本原理想（或左（右）單模），則 R 的所有左（右）本原理想的交恰為環 R 的雅各布森根。若環 R 的雅各布森根為零，則稱 R 為半本原環（semiprimitive ring）。環 R 為半本原環若且唯若 R 為左（右）本原環的次直積。
