零化子

零化子

零化子(annihilator)起源於零因子的概念.設S是環R的子集,R中一切左乘S中每一個元都等於零的元素的集合,稱為S的左零化子,R中一切右乘S中每一個元都等於零的元素的集合,稱為S的右零化子。

基本介紹

  • 中文名:零化子
  • 外文名:annihilator
  • 所屬學科:數學
  • 分類:左零化子、右零化子
定義,定義一,定義二,零化子的性質,1 引理,2 定理,3 定理,4 推論,

定義

定義一

設S是R的子集,R中一切左乘S中每一個元都等於零的元素的集合,稱為S的左零化子,通常記為
,即
={
對任意
}。
是R的一個左理想。同樣地,S在R中的右零化子
=
={
對任意
}是R的右理想,
稱為S在R中的零化子,它是R的理想。

定義二

假定R是環,S是R的非空子集合
,那么
叫做R中S的左零化子或簡稱R中左零化子或左零化子,顯然
是R的左理想,假如K是由S生成的R的右理想,那么
,因此我們也可以假定S是R的右理想,這樣
就是R的右理想S的左零化子,如果S是左理想或理想,那么
就是理想。
同樣
叫做R中S的右零化子或R中右零化子或右零化子,顯然
是R的右理想,我們也可把
看成R的左理想S的右零化子,右理想的右零化子或理想的右零化子都是理想。
R的理想如果又是R中左零化子或右零化子,就叫做R的零化理想,顯然R自身是R中的零化理想,假如環R有單位元或是半質環,那么O是R的零化理想。

零化子的性質

分別簡記為

1 引理

餘生成子,則對於每個
有:

2 定理

是內射的,則有
(1)對任意
,有
(2)對任意有限生成的

3 定理

如果定理2中的條件(1),(2)成立,則任意從R的有限生成右理想到R的同態可由R的某個元素左乘得到。

4 推論

是Noether的且定理2中的條件(1),(2)成立,則
是內射的。
證明:因為
是Noether的,所以R的每個右理想是有限生成的,於是由定理3和Baer判別定理就得到命題。

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