賦范代數，是泛函分析的一個重要分支，研究帶有乘法的賦范線性空間的性質及其套用。
設A是賦范線性空間，如果在A上定義了乘法，即對於A中任何兩個元素x，y，對應有A中的一個元，稱為x與y的乘積，並記為xy。而且乘法具有下列性質：①(xy)z=x(yz)；②α(xy)=(αx)y=x(αy)；③(x+y)z=xz+yz；④z(x+y)=zx+zy，則稱A是賦范代數。
基本介紹
- 中文名：賦范代數
- 外文名：Normed algebra
- 所屬：泛函分析
- 意義：研究賦范線性空間的性質
定義,巴拿赫代數,簡介,套用,發展,
定義
設A是賦范線性空間，如果在A上定義了乘法，即對於A中任何兩個元素x，y，對應有A中的一個元，稱為x與y的乘積，並記為xy。而且乘法具有下列性質：
①(xy)z=x(yz)；
②α(xy)=(αx)y=x(αy)；
③(x+y)z=xz+yz；
④z(x+y)=zx+zy，則稱A是賦范代數。
又當A是巴拿赫空間時，A就稱為巴拿赫代數。如果對A中任何兩個元x，y都成立xy=yx，就稱A是交換的。A中元e如果使ex=xe=x對任何x∈A成立，e就稱為A的單位元。當A有單位元時，單位元必是惟一的。在有單位元e的賦范代數A中，對元x，如果有y使xy=yx=e，就稱y是x的逆元。
如果實或復賦范線母空間
同時是個線性（結合）代數，並且的乘法運算滿足，對任意
有
成立，則稱是實或復賦范代數。每個實賦范代數都可以等距嵌入到某個復賦范代數中，因此一般主要討論復賦范代數。
巴拿赫代數
[Banach algebra]
簡介
若復賦范代數
同時是個巴拿赫空間,則稱
是巴拿赫代數。如果 含有乘法單位元
,則存在與原範數等價的新範數
，使得
，因此在含有乘法單位元 的巴拿赫代數
中，總假設
，並稱這樣的代數為有單位元的巴拿赫代數。
例如，緊豪斯多夫空間
上的所有復值連續函式的集合
，在通常函式運算下依極大模範數是一個有單位元的巴拿赫代數；巴拿赫空間
在以卷積
作為乘法運算下，形成一個無單位元的巴拿赫代數；對於巴拿赫空間
，以運算元的複合為乘法運算， 上全體有界線性運算元
在運算元範數下是以恆等運算元為單位元的巴拿赫代數。
如果巴拿赫代數
沒有單位元，設
在
上逐點定義線性運算，定義乘法為(A,a)∙(B,b) = (AB+aB+bA,ab)，則
在範數
為單位元的巴拿赫代數且
等距同構於
的閉子空間
。因此，無單位元的巴拿赫代數都可以等距嵌入到具有單位元的巴拿赫代數中。
設 是巴拿赫代數 的單位元，
，如果存在
，使得
，則稱 A 是可逆的或正則的，稱 B 為 A 的逆 (inverse)。如果復巴拿赫代數 中任意非零元都可逆，則 等距同構於複數域
，這是著名的 Gelfand-Mazur 定理。對於
，如果複數
使得
不可逆，則稱 是
的譜，記為
。 是複數域 中的非空緊子集，稱
為 T 的譜半徑，記為
。此時有譜半徑公式
。稱 在數域 中的補集
為 T 的預解集。
套用
巴拿赫代數的概念雖然相當簡單，但在調和分析、運算元理論、函式代數等許多數學領域中有廣泛的套用。由於在巴拿赫代數中除線性運算外還有乘法運算，就能更多地利用代數的方法。實質上，在巴拿赫代數中，代數運算（加法、數乘、乘法）與範數之間有著深刻的內在聯繫，顯示代數方法對分析問題（與極限有關的問題）的研究起著更大的作用。
