置換群

n元對稱群的任意一個子群，都叫做一個n元置換群，簡稱置換群。

置換群是最早研究的一類群，是十分重要的群，每個有限的抽象群都與一個置換群同構，也就是說，所有的有限群都可以用它來表示。

由有限集合各元素的置換*所構成的群*。它是一種重要的有限群。

每個代數方程，都有由它的根的置換所形成的置換群存在;伽羅華*利用置換群的性質，給出了方程可用根式求解的充要條件。

由n個元素的集合中各元素的全部置換所構成的群，稱為n階對稱群。討論正n邊形繞中心的對稱，就得到一個對稱群。

基本介紹

• 中文名：置換群
• 外文名：Permutation group
• 性質：傳遞性
• 所屬學科：近世代數
• 特點：有穩定子群
• 領域：群論

簡介

一類具體的有限群。有限集合到自身的一一映射稱為一個置換。有限集合Ω上的一些置換組成的集合，在置換的乘法下所組成的群，稱為置換群。此群的階是有限的.研究置換群的性質和構造的理論稱為置換群論。凱萊(Cayley，A.)證明：任何一個有限群都同構於一個置換群。因此，可以把一切有限群都看成置換群.由於置換群比抽象群更為直觀，而一些數學對象的自同構群是以置換群的面貌出現的，所以，在歷史上對置換群的研究先於對抽象群的研究。著名的伽羅瓦理論就是把高次方程的根式可解性的研究轉化成為對置換群的研究的，事實上，伽羅瓦(Galois，E.)本人就曾得到有關置換群的一些深刻定理。

置換群是由置換組成的群。即n元集合Ω到它自身的一個一一映射，稱為Ω上的一個n元置換或n階置換。Ω上的置換 可表為

或簡記為

其中 是 的一個排列， 是 在置換 下的像。由全排列知識可知，這樣的置換共有 個。

有時也把 在 下的像記為 。根據映射的乘法可以定義Ω上任意兩個置換 與 的乘積 為

對於這樣定義的運算，Ω上全體置換所組成的集合Sω成一個群，稱為Ω上的對稱群或n元對稱群，簡稱對稱群，其階為 n!。對稱群的子群稱為Ω上的置換群或簡稱置換群。當 時把Sω 記為Sn。較置換群更為一般的概念，有所謂的作用。

作用

G是一個群，Ω是一個非空集合。G中每個元素g都對應Ω的一個映射：x→xg，x∈Ω，若滿足：

① ；

②xe=x（e是G的單位元素）

則稱G作用於Ω上。G作用於Ω上的充分必要條件是，G同態於Ω上的一個置換群。

設G是Ω上的一個置換群，H是Γ上的一個置換群。如果存在Ω到Γ上的一個一一對應ρ，以及G到H上的一個一一對應φ,使得對Ω中任一個點α及G中任一個置換g都有

,那么G與H 稱為置換同構的。兩個置換同構的置換群一定是同構的。但是同構的置換群不一定是置換同構的。

如果 Ω與Γ都是n元集合，那么Sω與Sг是置換同構的。因此，n元對稱群都與Sn置換同構。

設σ是Ω上一個置換,若Ω中一些點 使得

而σ保持Ω中其餘的點不動，那么σ稱為一個輪換，記作(α1,α2,…,αs)。若兩個輪換沒有公共的變動點，則稱這兩個輪換是不相交的。每一個置換都可表為不相交輪換的乘積，稱為置換的輪換表示法，而且除表示式中輪換的次序以外，置換的輪換表示法是唯一的。

基本性質

a. 封閉性

b. 可結合性

=

=

c. 單位元

d. 逆元

重要定理

定理1 不相連輪換相乘時可以交換

定理2 每個（非輪換）的置換都可表為不相連輪換之積；每個輪換都可表為對換之積，因此，每個置換都可表為對換之積

定理3 每個置換表成對換的乘積時，其對換個數的奇偶性不變

輪換對換

任一置換都可表為一些對換的乘積,表示法不是唯一的,但是表示式中對換個數的奇偶是唯一確定的。若σ可表成偶數個對換的乘積,則稱σ為偶置換。若σ可表成奇數個對換的乘積,則稱σ為奇置換。

Sω中全部偶置換組成Sω的一個正規子群，稱為n元交錯群,簡稱交錯群,記作Aω。Sn的交錯子群記作An。n元交錯群都與An置換同構。當n≥2時,An的階為n!/2。當n≠4時，An是單群，這是一類很重要的有限單群。

置換群是有限群的一類重要例子，有限群的研究是從置換群開始的。置換群的重要性還在於下述事實。

凱萊定理（Cayley's theorem）

任一有限群都與其元素的一個置換群同構。

區及軌道 設G是Ω上一個置換群,墹是Ω的一個子集，g是G中任一元素,用墹g表示墹在g下的像集

公式

。若對於G中任一元素 g都有墹g=墹，或

公式

，則稱墹是一個區。空集═以及Ω都是區,稱為平凡區。其餘的區稱為非平凡區。兩個區的交仍是區。

若對G中任一元素g，都有墹g=墹，則稱 墹是G的一個不變區。Ω及═都是不變區。不變區的交仍是不變區。

設墹是G的一個不變區，如果對墹中任意兩個點α、β都有G中一個元素g使得αg=β，那么墹稱為G 的一個軌道（或傳遞集）。如果墹是G 的一個軌道，那么，任取墹中一個點α，都有

公式

。而且，G 的任一個軌道都可這樣得到。如果墹及Γ是G 的兩個軌道，那么墹=Г 或墹∩Г=═。因此,Ω分成G 的一些兩兩不交的軌道之並。軌道中元素的個數稱為軌道的長度。

穩定子群

設G是一個n元置換群，作用於Ω上。取定Ω中一個點α

公式

,是G 的一個子群,稱為G 對α 的穩定子群。如果

公式

，並設

公式

(通常取恆等置換作為g1)，那么

公式

。因此,|G|=|Gα||αG|，所以G 的軌道的長度一定能整除G 的階。

如果對任一α∈Ω，都有Gα={e}，則稱G是半正則群。此時，G的任一軌道長都等於|G|。

穩定子群的概念還可以推廣到多個點的情形。取定Ω中k個點α1,α2,…,αk,則是G的一個子群,稱為G對α1,α2,…,αk的穩定子群。顯然有。

傳遞性

設G是Ω上一個置換群。若對任意α,β∈Ω，都可找到g∈G,使得αg=β,則稱G在Ω上是傳遞的；否則，稱G是非傳遞的。G是傳遞群若且唯若Ω是 G的一個軌道。因此，若G是傳遞群,則|Ω|是|G|的一個因子。若G是傳遞群，且|Ω|=|G|,則稱G是一個正則群。正則群就是傳遞的半正則群。

若在一個非正則傳遞群G中,每個非單位元素最多保持一個文字不變，則G 稱為弗羅貝尼烏斯群。在弗羅貝尼烏斯群G中,沒有不變文字的置換與恆等置換一起構成一個正則群R，R是G 的一個特徵子群。

若對於Ω中任意兩個k元有序點組α1，α2,…,αk及β1,β2,…,βk,都有G中一個置換g使

公式

，則稱G是一個 k重傳遞群或 k傳遞群。k重傳遞群一定是(k-1)重傳遞的。如果k≥2，那么k重傳遞群稱為多重傳遞群，否則稱為單傳遞群。如果G是Ω上一個傳遞群,那么若且唯若Gα在Ω-{α}上(K-1)重傳遞群時,G是k重傳遞的。k重傳遞的n元置換群G 的階可被n(n-1)…(n-k+1)整除。若G 的階恰等於n(n-1)…(n-k+1),則稱G是一個精確 k重傳遞群。此時，對於Ω中任意兩個k元點組α1,α2,…,αk;β1,β2,…,βk,在G中恰有一個g使α=βi,i=1，2，…，k。

對稱群Sn是 n重傳遞的，交錯群An是n-2重傳遞的。除去Sn及An外，有無窮多個3重傳遞群，但是只知道4個4重傳遞群，它們是法國數學家 É.L.馬蒂厄在1861年及1873年先後發現的次數分別為11，12，23及24的馬蒂厄群M11,M12,M23,M24，其中M12及M24是5重傳遞的,而且M11是M12的穩定子群，M23是M24的穩定子群，它們的階分別是

公式

。

M11及M12都是精確傳遞群。

在1981年有限單群分類的問題解決以後，所有雙重傳遞群已被決定,並且知道沒有傳遞重數大於或等於6的傳遞單群，而交錯群與上述4個馬蒂厄群是僅有的4重傳遞的單置換群。M23的穩定子群是M22,也是一個單群,這5 個馬蒂厄群是最早發現的不屬於有限單群的無窮系列的5個零散單群。

置換群的循環表示

循環

約定 為一個m階的循環表示，其表示為將 替換為 ， 將 替換為 ，......， 將 替換為 ，將 替換為 。(a1a2…am)=(a2a3…ama1)=…=(ama1…am-1)有m種表示方法。

若兩個循環無共同文字，稱為不相交的，不相交的循環相乘可交換。

循環表示

任一置換可表成若干不相交循環的乘積。比如 稱為是置換的循環表示。證明如下：

對給定的任一置換p= ，從1開始搜尋

1→ → →…→ →1得一循環(1 … ),

若(1 … )包含了[1,n]的所有文字，則命題成立。

否則在餘下的文字中選一個，繼續搜尋,又得一循環。直到所有文字都屬於某一循環為止。

因不相交循環可交換，故除了各個循環的順序外，任一置換都有唯一的循環表示。

2階循環(i,j)叫做對換，任意一個循環都能表達成若干換位之積。任意一個循環分解為若干之積不是唯一的，甚至與連換位的數目都不相同。例如(12 …n)=(23)(2 4)…(2 n)(2 1)，(12 3) = (12)(13) = (12)(13)(31)(13)。但是有一個性質是不變的，即換位數目的奇偶性不變。即一個置換分解為若干個數目的置換之積，可分解成奇數個換位之積的置換，不可能表示為偶數個換位之積；反之，也成立。證明如下：

設l,k(l<k)為正整數常數，則有

其中A為不含有xk和xl項的部分

若將l和k換位，(l k)f =-f

每次對換都改變f的符號，則對應的分解的奇偶性是唯一的。

奇循環與偶循環

置換分成兩大類：奇置換與偶置換。

若一個置換能分解為奇數個換位之積，則為奇置換，若可以分解為偶數個換位之積，則為偶置換。

S= (1)(25)(37)(46) 3個換位，奇置換

S= (1) (2) (3) (4) (5) 0個換位，偶置換

例右圖中0表示空格，有些布局通過左圖偶數次換位得到，有些是奇數次換位得到，但奇數次換位得到的不能通過偶數次換位來得到。如果限制任一變動都是與0做相鄰的對換，是否能夠由左圖生成右圖？

顯然0從右下角出發回到右下角，水平方向上，垂直方向上都做了偶數次對換。一個奇置換不會等於一個偶置換。

[1,n]上的所有置換(共n!個)構成一個群，稱為n階對稱群(Symmetricgroup)，記做Sn.

定理： Sn中所有偶置換構成一階為(n!)/2的子群稱為交錯群，記做An.

(1)封閉性:偶置換相乘還是偶置換

(2)結合律：置換群的結合律

(3)單位元：置換群的單位元素本身就是偶置換

(4)逆元 =

設 p =( )( )…( ),則p-1 = ( )…( )

故An為群

令Bn=Sn-An,|Bn|+|An|=n!,

則(ij) Bn An，所以 |Bn|≤|An|，

(ij) An Bn，所以|An|≤|Bn|∴|An|=|Bn|=(n!)/2

秩

設G是Ω上的一個傳遞置換群，α∈Ω，G對α的穩定子群Gα作為Ω上的置換群，其軌道（包括平凡軌道{α}）數稱為G的秩。顯然，若且唯若G的秩等於2時,G是雙傳遞的。秩為 3的單傳遞群是一類很重要的單傳遞群，在26個零散單群中，有8個是作為秩是3的置換群構造出來的群。

本原性 　設G是Ω上一個傳遞群，若G沒有非平凡區， 則稱G是一個本原群，否則稱為非本原群。多重傳遞群一定是本原群,Ω上傳遞群G是本原群的充分必要條件為其穩定子群Gα(α∈Ω)是G的極大子群。如果Ω上一個置換群G是k重傳遞的,並且對k-1個點的穩定子群在其餘的點上是本原的，那么G稱為k重本原的。

傳遞性、半傳遞

比k重傳遞性較弱的一個概念是k重集傳遞性。設G是Ω上一個置換群，若對於Ω的任意兩個k元子集Δ、Γ都可找到 G中一個元素g 使得Δg=Γ,則稱G是k重集傳遞的。傳遞性的另一個推廣是所謂半傳遞性，若G的軌道長都相等且大於1,則G稱為半傳遞的，或重傳遞的。

置換群的一個古老而有意義的問題，是找出全部互不置換同構的置換群。至今，已找出次數小於或等於11的全部置換群。所謂置換群的次數，即這個置換群所有實際變動的點的個數。當12≤n≤15時找出了全部n次傳遞群。而當n較大時，僅對n≤50找出了全部n次本原群。

常見的置換群

S₂={(1)、(1 2)}

S₃={(1)、(1 2)、(1 3)、(2 3)、(1 2 3)、(1 3 2)}

S₄={(1)、(1 2)、(1 3)、(1 4)、(2 3)、(2 4)、(3 4)、(1 2 3)、(1 3 2)、(1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3)、(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、(1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2)、(1 2)(3 4)、(1 3)(2 4)、(1 4)(2 3)}