基本介紹
- 中文名:本原群
- 外文名:primitive group
- 領域:代數
- 定義:傳遞置換群的一個子類
- 特點:沒有非平凡完全區系
- 對應概念:非本原群
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概念介紹
本原群(primitive group)是指傳遞置換群的一個子類。集合Ω上的傳遞置換群G,若沒有非平凡完全區系,則稱G為Ω上的本原群。否則,即G具有非平凡完全區系,就稱G為非本原群。例如,Ω={1,2,3,4,5,6}而G由元素g生成,其中g=(1,2,3,4,5,6),那么{1,4},{2,5},{3,6}是G的一個非平凡的完全區系,同樣{1,3,5},{2,4,6}也是G的非平凡的完全區系。因此G是非本原群。由這個例子還可以看出,在G為非本原群時,G可能有不止一個非平凡的完全區系。G在Ω上是本原的若且唯若對Ω中的任何兩個不同的點α,β和Ω的任一非空真子集Δ,都有G中一個元素g,使α∈Δ而βΔ.G在Ω上是本原群的另一個充分必要條件是,對任何α∈Ω,Gα是G的極大子群。關於本原群的研究是置換群論的最重要的內容。其中值得一提的工作是人們已經給出了次數≤50的全部本原群的一覽表,又藉助於有限單群分類定理,決定了全部素數p次置換群、雙傳遞群、秩3本原群,以及某種類型的奇數次本原群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:
(1)封閉性,a·b∈G;
(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法),構成一個群。
滿足交換律的群,稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在群。例如,可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換群對幾何學進行分類。可以說,不了解群,就不可能理解現代數學。
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H,若對G的乘法也成為群,則稱H為G的子群,記為H≤G.若子群H≠G,則稱H為G的真子群,記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群,G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示),稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是:對任意的a,b∈H,恆有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合,I是一個指標集,則所有Hi的交Hi是G的一個子群。
極大子群
極大子群是一種重要的子群。即在包含的意義下極大的真子群。它是群G的真子群H,且G與H之間無G的其他真子群。若H是群G的真子群,並且,對於G的真子群K,由H≤K得出K=H,則稱H是G的極大子群。
置換群
置換群是指由置換組成的群。n元集合Ω={a1,a2,…,an}到它自身的一個一一映射,稱為Ω上的一個置換或n元置換。
有限群在其形成時期幾乎完全在置換群的形式下進行研究,拉格朗日和魯菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的關於方程可解性的著作里,引進了n個根的一些函式進行研究,開創了置換群的子群的研究,得到“子群的階整除群的階”這一重要結果。魯菲尼在1799年的專著《方程的一般理論》中,對置換群進行了詳細的考察,引進了群的傳遞性和本原性等概念。在拉格朗日和魯菲尼工作的影響下,柯西發表了關於置換群的重要文章(1815)。他以方程論為背景,證明了不存在n個字母(n次)的群,使得它對n個字母的整個對稱群的指數小於不超過n的最大素數,除非這個指數是2或1。伽羅瓦對置換群的理論做出了最重要的貢獻,他引進了正規子群、兩個群同構、單群與合成群等概念,發展了置換群的理論。可惜他的工作沒有及時為數學界所了解。柯西在1844—1846年間,寫了一大批文章全力研究置換群。他把許多已有的結果系統化,證明了伽羅瓦的斷言:每個有限(置換)群,如果它的階可被一個素數p除盡,就必定至少包含一個p階子群。他還研究了n個字母的函式在字母交換下所能取的形式值(即非數字值),並找出一個函式,使其取給定數目的值。
置換群的理論(主要指伽羅瓦的工作)在1870年由若爾當整理在他的《置換與代數方程》之中,他本人還發展了置換群理論及其套用。
傳遞置換群
傳遞群有更強的傳遞性質的置換群.設k是一個自然數,而G是Ω上的一個置換群,且|Ω|≥k。若對Ω的任意兩個有序k元子集{α1,α2,…,αk}和{β1,β2,…,βk},都可找到一個元素g∈G,使得α1=β1,α2=β2,…,αk=βk,則稱G在Ω上是k重傳遞的;或簡單地稱,G在Ω上是k傳遞的。由這個定義,1重傳遞群就是通常所稱的傳遞群,2重傳遞群稱為雙傳遞群。一般地,若k≥1,一切k+1重傳遞群都是k重傳遞群。Sn是惟一的n次n重傳遞群,而An是n次的n-2重傳遞群。還可推出:當k≥2時,G在Ω上是k重傳遞的若且唯若G在Ω上是傳遞的並且對任意α∈Ω,穩定子群Gα在Ω\{α}上是k-1重傳遞的。由此可知,若G是Ω上的k重傳遞群而|Ω|=n,則G的階是n(n-1)…(n-k+1)的倍數。若k≥2,則一切k重傳遞群都是本原群。人們常把傳遞置換群分作三類加以研究:即二重和二重以上的傳遞群;非二重傳遞的本原群;非本原群。其中二重以上傳遞(即多重傳遞)群的研究一直是置換群理論的引人注意的課題。其背景是,雖然有大量的2重傳遞群和3重傳遞群,但除去Sn和An外,人們從未發現任何一個6重傳遞群,而4重傳遞群只知道有4個,馬蒂厄群M11,M12,M23,M24,其中M12,M24是5重傳遞的。利用有限單群分類定理,已經決定出全部的2重傳遞群。由此也證實了上述四個馬蒂厄群是An,Sn以外的全部4重傳遞群。