極大子群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。如果群G的非空子集合H對於G的運算也成一個群,那么H稱為G的子群。

極大子群(maximal subgroup)是一種重要的子群。是有限群的子群。極小子群是一種重要的子群。極大子群的對偶概念。

基本介紹

  • 中文名:極大子群
  • 外文名:maximal subgroup
  • 領域:代數
  • 性質:重要的子群
  • 對象:有限群
  • 對偶概念:極小子群
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概念

極大子群(maximal subgroup)是一種重要的子群。是有限群的子群。即在包含的意義下極大的真子群。它是群G的真子群H,且G與H之間無G的其他真子群。若H是群G的真子群,並且,對於G的真子群K,由H≤K得出K=H,則稱H是G的極大子群。

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:
(1)封閉性,a·b∈G;
(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法),構成一個群。
滿足交換律的群,稱為交換群
群是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在群。例如,可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換群對幾何學進行分類。可以說,不了解群,就不可能理解現代數學。
1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅華在1830年首先提出的。

子群

如果群G的非空子集合H對於G的運算也成一個群,那么H稱為G的子群。
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H,若對G的乘法也成為群,則稱H為G的子群,記為H≤G。若子群H≠G,則稱H為G的真子群,記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群,G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示),稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是:對任意的a,b∈H,恆有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合,I是一個指標集,則所有Hi的交Hi是G的一個子群。

對偶概念——極小子群

極小子群是一種重要的子群。極大子群的對偶概念。指在包含的意義下,群的最小的非平凡真子群。它是群G的真子群K,且K除了單位元群{e}為真子群以外無其他真子群。若K是群G的真子群,K≠{e},並且,對於G的真子群H,由H≤K得出H={e}或H=K,則稱K是G的極小子群。

有限群

循環群的任一直積是有限交換群。反之,任一有限交換群必具有這種形式.特別,其階為素數的所有有限群皆是循環群。
任一有限群(不一定是交換的)同構於一有限集的置換群的一個子群。目前,人們還沒有弄清楚有限群的分類。
非交換的有限群之研究目前基本上停留在p-群的概念上。這是指其階為一個素數p的冪的有限群。有限群G的所有最大p-子群叫做G的西羅子群;G的所有西羅p-子群都是共軛的,而它們的公共階是能整除G的階的p之最大冪。
具有有限多個元素的群,是群論的重要內容之一。其所含元素的個數,稱為有限群的階。歷史上,抽象群論的許多概念起源於有限群論。有限群可分為兩大類:可解群與非可解群(即單群)。
有限群的研究起源很早,其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及後來的伽羅瓦、若爾當等人的名字相聯繫的。如何確定可解群和單群是抽象群理論建立後的一個重要發展方向。德國數學家赫爾德在1889年以後的若干年內,詳細地研究了單群和可解群,證明:一個素數階循環群是單群,n個(n≥5)文字的全部偶置換組成的交換群是單群。他還發現了許多其他有限的單群。赫爾德若爾當還建立了在有限群中的若爾當—赫爾德合成群列和若爾當—赫爾德定理。在19世紀末,德國數學家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數學家伯恩塞德等都致力於可解群的研究。20世紀初伯恩塞德證明的關於pq(p、q是素數)必是可解群的定理,導致了對有限單群進行分類的重要研究。美國數學家湯普森和菲特在20世紀60年代初證明了有限群中長期懸而未決的一個猜想(見伯恩塞德猜想):奇數階群一定是可解群。它推動了有限群理論的發展。有限單群的完全分類,即找出有限單群所有的同構類,經過上百名數學家約40年的共同努力,終於在1981年得到解決,這是數學史上的一個非凡成就。

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