基本介紹
- 中文名：嘉當子群
- 外文名：Cartan subgroup
- 領域：代數
- 性質：代數群
- 定義：代數群極大環面的連通中心化子
- 命名來源：法國數學家嘉當
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概念介紹
嘉當子群(Cartan subgroup)是代數群的一個重要子群。指代數群G的極大環面的連通中心化子。當G是簡約群時，嘉當子群就是G的極大環面。嘉當子群是以法國數學家嘉當的名字命名而來，以表彰他對代數理論作出的巨大貢獻。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
代數群
代數群是指具有某種拓撲結構的群。代數群理論是群論與代數幾何學結合的產物，可以看成李群理論的推廣或者同李群理論平行的一個群論分支.若G是代數閉域K上的代數簇，又具有群的結構，且乘法運算G×G→G(這裡的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)積)與求逆運算G→G都是簇的態射，則稱G為代數群。若G作為簇是不可約的，則稱此代數群是連通的。代數群的閉子簇若同時也是個子群，則稱為閉子群，它仍是個代數群。代數群關於它的正規閉子群的商群也是個代數群。例如，K上n級一般線性群(K上n級非奇異矩陣全體所成的群)GL(n，K)是代數群;K上n次特殊線性群(K上行列式1的n階矩陣全體所成的群)SL(n，K)是GL(n，K)的閉子群.若代數群G的簇結構是仿射的，則稱G為仿射代數群或線性代數群。採用後一術語的理由是，這種群都同構於某個GL(n，K)的閉子群。若G的簇結構是完備的，則稱G為阿貝爾簇.阿貝爾簇的群結構很簡單(都是阿貝爾群)，且被簇結構惟一決定，因此它的研究屬於代數幾何學的範疇。另一方面，對任意代數群G，總可以惟一地找到一個正規的仿射閉子群N，使G/N是阿貝爾簇。因此，代數群理論研究的主要是仿射的(即線性的)代數群，並把仿射代數群簡稱代數群。代數群及其表示理論與域論、多重線性代數、交換環論、代數幾何、李群、李代數、有限單群理論以及群表示理論等數學分支都有十分密切的聯繫，是近年來代數學的一個相當活躍的分支。
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有Hi的交Hi是G的一個子群。
人物簡介
嘉當是法國數學家。生於法國伊澤爾的多洛米約，卒於巴黎。1891年畢業於巴黎高等師範學校，並通過了教師資格考試，1894年獲博士學位。後曾任教於蒙被利埃大學(1894—1896)、里昂大學(1896—1903)、南餳大學(1903—1909).1909年起任教於巴黎大學，1912年成為教授，1940年退休。1931年被選為法國科學院院士，1947年被選為倫敦皇家學會外籍會員，他還是美國全國科學院外籍院士。
嘉當是20世紀的傑出數學家之一，對現代數學的發展有重要影響。他的工作涉及群論、微分方程理論與幾何等。1894年，他給出了複數域上單李代數的完整分類，1898年，他給出了任意李代數是半單的充分必要條件是其二次型的秩與李代數的維數相等。他還得到了實數域和複數域上結合代數的主要結構定理。1913年，他在一般線性表示理論方面引入了權的概念及所有權和根的序關係，證明了序關係的最高權惟一確定不可約表示，並繼而建立了復單李代數所有不可約線性表示的分類。在這過程中，他發現了正交李代數的旋表示，並在1938年出版的《旋量理論》一書中用幾何觀點進一步發展了旋量理論，這在物理學中有重要套用。1914年，他對實數域上的單李代數進行了分類，給出了實單李代數的實線性表示。1927年，他還以局部微分幾何的觀點研究了群流形，證明了群上存在著三種仿射聯絡。他還研究了李群拓撲，發展了研究李群整體性質的新方法。1929年，他還確定了緊李群的高維貝蒂數。在微分方程方面，他一直致力於外形式的套用，後被稱為“嘉當外形式法”，他還引入了高階外微分形式.1902—1909年間，他發展了普法夫方程理論。他第一次給出了任意微分方程組一般解概念的嚴格定義，並給出了存在性定理，用開拓法確定了所有奇異解(其證明1955年由倉西式武(Kuranishi，M.)給出).他還把微分方程組理論套用到無限變換群理論，從而開闢了一個新的數學分支。他還用他的微分方程理論聯繫廣義相對論與統一場論進行了分析研究，第一次用撓率而不是用曲率引入了黎曼空間概念，後來成了愛因斯坦(Einstein，A.)統一場論的基礎。920年，他在微分幾何的研究中引入了移動框架法，為經典微分幾何學注入了新的活力.1938年和1939年，他證明了當黎曼空間有不變的正曲率時，存在著有三種不同主曲率的等參數超曲面簇，但只能在空間維數為4、7、13或25時才能出現，而且最後一簇即為有52個參數的例外單李群;第一次用幾何觀點理解這類群.他提出的聯絡概念，在更高的觀點下統一了克萊因(Klein，(C.)F.)和黎曼(Riemann，(G.F.)B.)的思想，對現代微分幾何有著極深刻的影響。他的外微分形式，後來成了積分幾何中不可缺少的工具。1937年，他曾獲國際羅巴切夫斯基數學獎。他曾出版過10多本專著，發表過學術論文200餘篇，主要論文均收入了他的三卷六冊的《文集》(1952—1955)中。
