循環(非交換幾何概念)

循環是非交換幾何中的概念。

基本介紹

• 中文名：循環
• 外文名：cycle
• 所屬學科：非交換幾何

定義

n維循環為三元組(Ω,d,∫)，其中Ω=⨁_j=0Ω為ℂ上分次代數。d為次數為1的冪零分次導子，∫:Ω→ℂ為閉分次跡，即∫dω=0且∫(ω₁ω₂-(-1)ω₂ω₁)=0。

設A為ℂ上代數。則A上的循環由循環(Ω,d,∫)以及同態ρ:A→Ω給出。

相關概念

給定A上n維循環，則可定義A上循環n上閉鏈的特徵標φ

φ(a,a,...,a)=∫ρ(a)dρ(a)...dρ(a)。

反之，任何A上循環上閉鏈可由A上循環得到。

故A上循環n上閉鏈與非交換微分形式ΩA上閉分次跡有一一對應關係。

弗雷德霍姆模

構造

設A為對合代數，(H,F)為A上弗雷德霍姆模。當n為偶數時，(H,F)為偶弗雷德霍姆模。

令Ω=A，Ω＞0由ω=a[F,a]...[F,a]張開的線性空間。

Ω*的積為運算元積，對ω∈Ω與ω'∈Ω，ωω'∈Ω。

微分d:Ω*→Ω*定義為dω=[F,ω]=Fω-(-1)ωF，則有微分分次代數(Ω*,d)。

定義Tr_s:Ω→ℂ為Tr_s(ω)=Tr(Fdω)/2,n為奇數；Tr_s(ω)=Tr(γFdω)/2,n為偶數，其中γ來源於(H,F)的ℤ₂分次運算元。

則(Ω,d,Tr_s)為A上n維循環。

特徵標

n維循環的特徵標為循環上閉鏈τ_n，定義為

τ_n(a,...,a)=Tr_s(ada...da)。

陳特徵標為以下循環上閉鏈對應的周期循環上同調類

λ_nτ_n(a,...,a)，

其中當n為偶數時，λ_n=(-1)Γ(n/2+1)；

當n為奇數時，λ_n=(2i)(-1)Γ(n/2+1)。