馮·諾伊曼代數

馮·諾伊曼代數亦稱弱閉對稱運算元環，是一類由運算元構成的弱閉的C*代數。

基本介紹

• 中文名：馮·諾伊曼代數
• 外文名：von Neumann algebra
• 所屬學科：泛函分析
• 別名：W*代數

簡介

馮·諾伊曼代數亦稱弱閉對稱運算元環，是一類弱閉的運算元C*代數。

定義

定義1

令𝓑(H)為希爾伯特空間H上有界線性運算元全體所成的C*代數，其中*運算為取伴隨運算元。

如果𝓜是𝓑(H)的自伴子代數，且關於𝓑(H)的弱運算元拓撲是閉的，則稱𝓜為馮·諾伊曼代數。

定義2

若𝓜是含單位元I的C*代數，且是某個巴拿赫空間的對偶空間。則稱𝓜為馮·諾伊曼代數。

定義3

如果𝓜是𝓑(H)的對合子代數，且𝓜的交換子的交換子為𝓜自身，則稱𝓜為馮·諾伊曼代數。

性質

馮·諾伊曼代數為運算元C*代數。

馮·諾伊曼代數擁有足夠多的投射運算元以生成本身。

對每個作用在可分希爾伯特空間的馮·諾伊曼代數𝓜，都存在一個可分C*子代數A，且A是𝓜的弱稠子集。

若是𝓑(H)的交換*代數，則存在極大交換馮·諾伊曼代數包含。

若T為希爾伯特空間的正規運算元，則T生成的馮·諾伊曼代數為交換代數。

若𝓜為𝓑(H)的自伴子代數，則𝓜的弱閉包為馮·諾伊曼代數，且若𝓜為交換代數，則也是交換代數。

相關概念

由於H上所有交換自伴運算元代數對於包含為偏序集，由佐恩引理，該集合有極大元，為極大交換自伴代數。

極大交換自伴代數為交換馮·諾伊曼代數。

與測度論的關係

若為測度空間，則L(μ)為的極大交換馮·諾伊曼代數，且L(μ)的弱運算元拓撲與弱*拓撲相同。反之，給定任何交換馮·諾伊曼代數，都存在測度空間，使得L(μ)與其同構。

交換馮·諾伊曼代數理論等價于勒貝格測度理論與自伴運算元的譜定理。

故馮·諾伊曼代數理論是測度論的非交換推廣。

發展

馮·諾伊曼代數是馮·諾伊曼(vonNeumann,J.)等人於1935年開始研究的一類運算元環，他們得到完整而深入的結果，後人為紀念這一數學理論的奠基者，就以他的名字來命名這類運算元環。

有些文獻把馮·諾伊曼代數定義為𝓑(H)中弱（強）閉自伴子代數（不必含單位運算元I）。