狄拉克-馮·諾依曼公理

在數學物理中，狄拉克-馮·諾依曼公理以希爾伯特空間上的運算元的形式，給出了量子力學的數學表達式。它們分別由保羅·狄拉克（Paul Dirac）於 1930年在其著作《量子力學原理》中，以及約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）於 1932年在其著作《量子力學的數學基礎》中提出。

基本介紹

• 中文名：狄拉克-馮·諾依曼公理
• 外文名：Dirac-von Neumann axioms
• 所屬學科：量子力學、數學物理

希爾伯特空間表述

空間是一個固定的、具有可數無限維的復希爾伯特空間。

• 量子系統的可觀測量被定義為上的（可能是無界的）自伴運算元。（在量子力學中，一般將“自伴運算元”看作是厄米算符（Hermitian operator），通常情況下不區分這兩者。）

• 量子系統的某個態對應於的一個單位矢量，最多相差一個常數因子。

• 對於處於態的系統，其可觀測量的期望值由內積給出。

運算元代數表述

狄拉克-馮·諾依曼公理可以用 C*-代數（C*-algebra）表述，如下：

• 定義量子力學系統的有界可觀測量為 C*-代數的自伴元（self-adjoint element）。

• 定義量子力學系統的態為 C*-代數的態，換句話說，即歸一化的正線性泛函（normalized positive linear functional）。

• 當量子系統處於態時，元素對應的態的值即為可觀測量的期望值。

示例

如果 C*-代數是希爾伯特空間上所有有界運算元的代數，那么，有界可觀測量就是上的有界自伴運算元。如果是的一個單位矢量，那么，就是一個 C*-代數上的一個態，這意味著單位向量（相當於標量乘法）給出了系統的態。這類似於量子力學中的狄拉克表述，儘管狄拉克也允許無界運算元，並且沒有清楚地區分自伴運算元和厄米算符。