C*-代數

C*-代數（C*-algebra），讀作“C-星-代數（C-star-algebra）”，其為一個滿足伴隨（adjoint）、對合（involution）性質的巴拿赫代數（Banach algebra），是泛函分析的一個研究對象。

基本介紹

• 中文名：C*-代數
• 外文名：C*-algebra
• 所屬學科：泛函分析、運算元理論
• 讀作：C-星-代數（C-star-algebra）

定性刻畫的兩點補充說明

伴隨（adjoint）：在泛函分析中，希爾伯特空間中的每個線性運算元有一個相應的伴隨運算元。運算元的伴隨將方塊矩陣的轉置共軛推廣到（可能是）無窮維的情形。如果我們將希爾伯特空間上的運算元視為“廣義複數”，則一個運算元的伴隨起著一個複數的共軛的作用。一個運算元的伴隨常常也稱為埃爾米特伴隨（Hermitian adjoint），記作或 （後者尤其用於狄拉克符號記法）。定義連續有界運算元（對於線性運算元，連續必有界），若滿足對全體，有，可得（即的伴隨是連續線性運算元），此時便稱為埃爾米特（物理中譯作“厄米”）或自伴（self-adjoint）。在某種意義下，這種運算元起著實數（等於它們的復共軛）的作用。它們在量子力學中作為實值可觀測量的模型。

對合（involution）：逆函式等於自身的函式，即或。

套用

一般認為 C*-代數主要套用於量子力學中可觀測量的模型代數中。這方面的研究始於 1933 年左右，沃納·海森伯（Werner Heisenberg）創立的矩陣力學，以及帕斯庫爾·約爾當（Pascual Jordan）所研究的、更接近數學發展的形式。之後，馮·諾依曼在他一系列關於運算元環的論文中嘗試建立更廣泛的框架，並將 C*-代數發展至一個高潮。這些論文可看做是一類特殊的 C*-代數，現在稱為馮·諾依曼代數（von Neumann algebra）。

1943 年前後，伊斯拉埃爾·蓋爾范德（Israel Gelfand）和馬可·奈馬克（Mark Naimark）對 C*-代數作出了抽象刻畫，使其不再需要用希爾伯特空間上的運算元進行刻畫。

在當代數學研究中，C*-代數是局部緊群的酉表示理論中的重要工具，同時在量子力學的代數表述中也有套用。另一個活躍的研究領域是對可分單核 C*-代數（separable simple nuclear C*-algebra）的分類，以及確定可被分類的程度。

兩則典型示例

C*-代數的一則典型示例就是復希爾伯特空間上連續線性運算元的復代數，它具有兩個附加性質：①是運算元的範數拓撲（norm topology）中的拓撲閉集；②在取運算元的伴隨運算下是封閉的。

另一類重要的非希爾伯特 C*-代數包括連續函式的代數。

抽象刻畫

以下為 Gelfand 和 Naimark 於 1943年給出的定義。

C*-代數是複數域上的巴拿赫代數及其映射 的組合（中元素關於對合映射 * 的像寫作 ），具有以下性質：

• 映射 為對合映射，且對於中任一元素：

• 對中任意的兩個元素,：

• 對複數域 中任意複數以及中任一元素：

• 對於中任一元素：

注意，前三個恆等式說明是一個“*-代數”。最後一個恆等式稱為 C*-恆等式（C*-identity），它等價於：。有時亦稱為 B*–恆等式。關於 C*-代數和 B*-代數背後的歷史，請參閱下面的“B*-代數與 C*-代數”部分。

C*–恆等式是一個很強的約束條件。舉例來說，C*–恆等式和譜半徑公式（spectral radius formula）可以推出 C*–範數由以下代數結構唯一確定：

C*-代數中，一個從到的有界線性映射被稱為 *-同態（*-homomorphism），如果

• 對中任意的兩個元素,，

• 對中任一元素，

就 C*-代數而言，C*-代數間的任何 *-同態都是可縮的（contractive），即有界且範數。此外，C*-代數間的單射 *-同態是等距的（isometric）。這些是 C*-恆等式的結果。

雙射 *-同態稱為 C*-同態，在這種情況下，和稱為同態。

B*-代數與 C*-代數區別

C. E. Rickart 於 1946 年引入術語 B*-代數 來描述滿足條件的 巴拿赫 *-代數（Banach *-algebras）：

• 對於所有 B*-代數給定的都成立。（B*-條件）

這個條件自動暗示 *-對合是等距的，即。因此，，因此，一個 B*-代數也是一個 C*-代數。相反，C*-條件意味著 B*-條件。這是非平凡的，並且不需要條件就可以證明。由於這些原因，術語 “B*-代數”在當前的術語中很少使用，並已被術語“C*-代數”所取代。

1947 年，I. E. Segal 引入 C*-代數這個術語來描述的 閉范子代數（norm-closed subalgebra），即某些希爾伯特空間上有界運算元的空間。“C*-代數”中的“C”代表“封閉的（closed，簡稱閉的）”之意。Segal 在他的論文中將 C*-代數定義為“希爾伯特空間上有界運算元的一致閉的自伴代數”。

結構

C*-代數有許多在技術上很方便的性質。其中一些性質可以通過使用連續泛函積分或化簡為可交換C*-代數（commutative C*-algebra）來建立。在後一種情況下，我們可以利用“它們的結構完全由蓋爾范德同構（Gelfand isomorphism）決定”這一事實。

自伴元

自伴元（self-adjoint element）的形式為。形式為的 C*-代數的元素集合構成了一個閉凸錐（closed convex cone）。該錐體與形式為的元素相同。此錐體的元素被認為是非負的（有時是正的，儘管這個術語與它用於 R 的元素時相衝突）。

C*-代數的自伴元的集合自然具有偏序（partially ordered）向量空間 的結構；此序通常標記為。在該序中，若且唯若的譜非負時（即對一些，若且唯若時），中的自伴元素的滿足。當時，中的兩個自伴的元素和的滿足。

這個偏序子空間允許在 C*-代數上定義一個正線性泛函，而該 C*-代數的正線性泛函轉而又被用來定義一個 C*-代數的狀態，或是用 GNS構造（Gelfand–Naimark–Segal construction）來構造一個 C*-代數的譜。

商、近似單位元

任何 C*-代數都有一個近似單位元（approximate identity）。事實上，的自伴元存在一個有向族（directed family）滿足

在可分離的（separable）情況下，存在一個序列（sequential）近似單位元。更一般地說，若且唯若包含一個嚴格正元素，即一個正元素使得在中稠密（dense）時，才會有一個序列近似單位元。

利用近似單位元，可證明在自然範數（natural norm）下，C*-代數模掉一個閉真雙側理想（closed proper two-sided ideal）後的代數商（algebraic quotient）仍是 C*-代數。

同理，C*-代數的閉雙側理想本身也是 C*-代數。

示例

有限維

如果將上的矩陣視為歐幾里德空間上的運算元，並對矩陣使用運算元範數 ||·||，則矩陣的代數成為一個 C*-代數。對合由共軛轉置給出。更一般地，我們可以考慮矩陣代數的有限直和。事實上，所有作為向量空間的 有限維C*-代數 都是這種形式，最多彼此同構。自伴這個要求意味著 有限維C*-代數 都是半單的，由此可以推導出下述阿廷-韋德伯恩型（Artin-Wedderburn type）的定理：

定理：一個有限維 C*-代數典範同構於一個有限直和，即，其中，為的最小非零自伴中心投影的集合。

每個 C*-代數（以一種非典範方式）同構於全矩陣代數（full matrix algebra）。指標上的有限族（finite family）由給出，稱為的維數向量（dimension vector）。該向量唯一地決定了 有限維C*-代數 的同構類。若使用 K-理論的語言就是：該向量是的群的正錐。

物理中偶爾會將 有限維C*-代數 稱為 -代數（-algebra），或者更明確地說，閉 代數（-closed algebra）。劍標（dagger）† 之所以會用於稱呼 有限維C*-代數，是因為物理學家通常用這個符號來表示埃米爾特伴隨（Hermitian adjoint，物理上譯作“厄米伴隨”，數學家通常用星號 * 表示埃米爾特伴隨），而且通常不擔心與無限維數相關聯的一些微妙之處。†-代數在量子力學，尤其是量子信息科學中表現突出。

近似有限維C*-代數（approximately finite dimensional C*-algebra）是 有限維C*-代數 的一則直接推廣。

運算元

C*-代數的一則典型示例就是定義在復希爾伯特空間上的有界（等價於連續）線性運算元的代數；這裡，表示運算元的伴隨運算元。事實上，對於一個適當的希爾伯特空間，每個 C*-代數都 *-同構於的閉范伴隨閉子代數（norm-closed adjoint closed subalgebra）；這就是蓋爾范徳-奈馬克定理（Gelfand–Naimark theorem）的內容。

緊運算元

設是一個可分離的無限維希爾伯特空間。上的緊運算元的代數是的一個範數閉子代數（norm closed subalgebra）。它在對合下也是閉的，因此它是一個 C*-代數。緊運算元的 C*-代數的具體刻畫類似於有限維C*-代數的韋德伯恩定理（Wedderburn’s theorem）:

定理：如果是的 C*-子代數，則存在希爾伯特空間滿足，其中，（C*-）直和由笛卡爾積的元素組成，且。

雖然沒有單位元，但可以推導出的一個序列近似單位元。具體來說，同構於平方可和序列（square summable sequence）的空間，我們可以假設。對於每個自然數，設是的序列的子空間，其在指標時為零；並設為投影到上的正交投影。序列是的一個近似單位元。

是的一個雙側閉理想。對於可分離的希爾伯特空間，該理想唯一。模掉後的商為卡爾金代數（Calkin algebra）。

可交換

設是一個局部緊的豪斯多夫空間（Hausdorff space）。上的復值連續函式空間在無窮遠處為零（這裡的無窮遠基於局部緊性定義），該空間在點態乘法（pointwise multiplication，或譯逐點乘法）和點態加法下形成一個可交換 C*-代數（commutative C*-algebra），對合為點態共軛。若且唯若為緊的時，有一個乘法單位元。和任何 C*-代數一樣，具有一個近似單位元。在這種情形下，我們立刻就能得到：考慮的緊子集的有向集（directed set），並對每個緊，設為緊支集（compact support）的函式，其在上恆等於 1。用於局部緊豪斯多夫空間的蒂茨擴張定理（Tietze extension theorem）證明了這些函式的存在性。任何這樣的函式序列都是近似單位元。

蓋爾范德表示（Gelfand representation）指出：每個可交換 C*-代數都 *-同構於代數，其中是具有弱* 拓撲（weak* topology）的特徵標空間。此外，如果同構於 C*-代數，則和同胚（homeomorphic）。這種刻畫是非交換拓撲和非交換幾何的動機之一。

C*-包絡代數

給定一個具有近似單位元的巴拿赫 *-代數，存在一個唯一的 C*-代數（最多彼此 C*-同構），且從到的 *-態射是萬有的（universal，有時譯作“泛的”），也就是說，每個其他的連續 *-態射因子可以通過唯一確定。代數稱為 巴拿赫 *-代數的 C*-包絡代數（C*-enveloping algebra）。

特別重要的是局部緊群的 C*-代數，它被定義為的群代數的包絡 C*-代數（enveloping C*-algebra）。在為非阿貝爾的情形下，的 C*-代數為的一般調和分析提供了表述語言。特別地，局部緊群的對偶被定義為 群C*-代數（group C*-algebra）的本原理想空間（primitive ideal space）。參見 C*-代數的譜。

馮·諾依曼代數W*-代數

馮·諾依曼代數是希爾伯特空間上有界運算元的 *-代數，在 20 世紀 60 年代以前被稱為 W*-代數，是一類特殊的 C*-代數。相對於 C*-代數在運算元範數下是閉的，馮·諾依曼代數要求在比範數拓撲還弱的弱運算元拓撲（weak operator topology）中仍是閉的。

Sherman-Takeda 定理表明，任何 C*-代數都有一個泛包絡（universal enveloping）W*-代數，使得任何 W*-代數的同態都可以通過它分解。

類型

若且唯若，對於的所有非退化表示（non-degenerate representation），馮·諾依曼代數（即的二次交換（bicommutant））是第Ⅰ類馮·諾依曼代數時，C*-代數是第Ⅰ類。事實上，只需考慮到因子表示（factor representation，即表示）是的一個因子就足夠了。

若且唯若，一個局部緊群的 群 C*-代數 是第Ⅰ類時，我們稱這個局部緊群是第Ⅰ類的。

然而，如果一個 C*-代數具有非第Ⅰ類表示，那么根據 詹姆斯·格利姆（James Glimm）的結果，它也具有第Ⅱ類表示和第Ⅲ類表示。因此，對於 C*-代數或局部緊群，只有談論第Ⅰ類性質和非第Ⅰ類性質才有意義。

物理套用

量子力學

在量子力學、數學物理中，狄拉克-馮·諾依曼公理（Dirac-von Neumann axioms）以希爾伯特空間上的 C*-代數形式，給出了量子力學的數學表達式。它們分別由保羅·狄拉克（Paul Dirac）於 1930年在其著作《量子力學原理》中，以及約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）於 1932年在其著作《量子力學的數學基礎》中提出。

量子場論

1964 年，C*-代數方法被用於局域量子場論（local quantum field theory）的哈格-卡斯特勒公理化（Haag-Kastler axiomatization），其中，閔可夫斯基時空中的每一個開集都與一個 C*-代數相關聯。