GNS構造

對於R及R的態φ，必存在希爾伯特空間H，向量ξ∈H，以及R在H上的表示ψ，使ψ_φ是以ξ_φ為循環向量的循環表示，而且還滿足φ(x)= (ψ_φ,(x)ξ_φ,ξ_φ)，這就是GNS構造。

基本介紹

• 中文名：GNS構造
• 外文名：GNS construction
• 所屬學科：C*代數

定義

對於有單位元的巴拿赫*代數A上正線性泛函ρ，必存在A在希爾伯特空間H上的以ξ為循環向量的循環表示π，而且還滿足ρ(x)=(π(x)ξ,ξ)，這就是GNS構造。

簡介

態與GNS構造是C*代數中最重要的部分，並且它們還有重要的物理意義。如果C*代數相應於量子系統的可觀測量代數，那么態就是量子系統的量子態，而公式ρ(x)=(π(x)ξ,ξ)恰為觀察量x在狀態ρ中的期望值。

推論

由此可知，必存在希爾伯特空間H和ψ，使ψ是R在H上的忠實表示。

循環表示

巴拿赫*代數的表示是C*代數到某希爾伯特空間H上的運算元代數的同態。

設R是有單位元e的巴拿赫*代數，H是希爾伯特空間。若存在R到H上的有界線性運算元全體𝓑(H)中的保單位元的*同態ψ，則稱ψ是R在H上的表示。

如果ψ是單射，則稱ψ是忠實表示。如果存在ξ∈H，使{ψ(x)ξ|x∈R}在H中稠密，則稱ψ是循環表示，而相應的ξ稱為循環向量。忠實表示必是保范的。