正線性泛函

正線性泛函（positive linear functional）是泛函分析中的一個概念。

基本介紹

• 中文名：正線性泛函
• 外文名：positive linear functional
• 所屬學科：泛函分析

定義

設A為含歸一化單位元1的巴拿赫*代數。A的一個線性泛函ρ若對A中任何x均滿足ρ(x*x)≥0，則ρ為正線性泛函。

等價定義為若對A中任何x≥0，有ρ(x)≥0，則ρ為正線性泛函。

性質

任何正線性泛函ρ的範數||ρ||=ρ(1)。

正線性泛函是連續映射。

態

若正線性泛函還滿足歸一化條件ρ(1)=1，則為態。

GNS構造

巴拿赫*代數A的正線性泛函ρ的GNS對為二元組(π,ξ)。其中π為A在希爾伯特空間上的表示，ξ為π(A)的循環向量，且對A中任意x都滿足：

ρ(x)=<π(x)ξ,ξ>。

任意含單位元巴拿赫*代數A的正線性泛函ρ均有GNS對(π,ξ)，ρ的任意GNS對都等價。