閔可夫斯基空間

閔可夫斯基空間是狹義相對論中由一個時間維和三個空間維組成的時空，它最早由俄裔德國數學家閔可夫斯基(H.Minkowski,1864-1909)表述。他的平坦空間（即假設沒有重力，曲率為零的空間）的概念以及表示為特殊距離量的幾何學是與狹義相對論的要求相一致的。閔可夫斯基空間不同於牛頓力學的平坦空間。

基本介紹

• 中文名：閔可夫斯基空間
• 外文名：Minkowski space
• 別稱：閔可夫斯基時空
• 領域：數學
• 提出者：閔可夫斯基
• 提出時間：1909年

簡介

阿爾伯特·愛因斯坦在瑞士蘇黎世聯邦科技大學(Eidgenössische Technische Hochschule, ETH; Swiss Federal Institute of Technology)時期的數學老師赫爾曼·閔可夫斯基在愛因斯坦提出狹義相對論之後，於1907年將愛因斯坦與亨德里克·洛侖茲的理論結果重新表述成(3+1)維的時空，其中光速在各個慣性參考系皆為定值，這樣的時空即以其為名，稱為閔可夫斯基時空，或稱閔可夫斯基空間。

愛因斯坦一開始不認為這樣的表述有何重要性，但當他1907年開始轉往廣義相對論發展時，發現閔可夫斯基時空可說是其所要發展的理論架構的基礎，轉而對這樣的表述採取高的評價。

定義

設是實數域上的四維空間，若是一個非退化的對稱型且其正慣性指數等於3，則稱是一個閔可夫斯基空間。

在適當基下有如下矩陣：

上的正交變換即稱為洛倫茲變換，中的迷向向量稱為光向量，中適合的向量稱為空間向量，而適合的向量稱為時間向量.這些相關名詞指出了閔可夫斯基空間的物理學淵源。

推導

我們從空間坐標變換說起。我們知道，平面解析幾何中的坐標變換式是：

藉助矩陣的形式，我們可以把上式寫成：

這裡的變換矩陣

是一個正交矩陣，因此這樣的坐標變換能保證任意兩點間距離不變。

從這裡只要一步就可以跨進狹義相對論。我們把時間 乘以一個因子 ，這裡 是具有速度量綱的一個常數，那么ict就有了長度的量綱（不過它的數值是虛的）。這個 就作為與三維空間的三個坐標相併列的第四維度，並且規定在坐標變換（實際上就是從一個慣性系變換到另一個慣性系）時，變換矩陣必須是正交的。比如，我們常見的洛侖茲變換：

如果把 、 、 依次記為 、 、 ，又記 為 ，寫成矩陣的形式就是：

上式中， ， 。這么一來，“時空統一”看起來是不是清楚多了？

在這樣的正交變換之下，有一個叫做“四維間隔”的東西是守恆的。如果記間隔為 ，那么

這個“四維間隔”，也就是四維時空中兩點（準確地說應該叫做“時空點”）間的“距離”。上式最右邊的 是空間上的距離， 是時間上的距離。

與此同時， 就成了四維時空中一個非常獨特的速度。

假如：在某個慣性系S1看來，一個物體從A地勻速運動到B地，歷時 ，穿越距離 ；而在另一慣性系S2中，這一物體從A地到B地，歷時 ，穿越距離 ；那么在這兩個慣性系中，“物體從A地到B地”所經歷的“四維間隔”的平方分別是：

和

倘若在S1系中此物體速度為 ，那么=c，於是 。則經過時空坐標的變換後必有 即 ，也就是說這一物體在S2系中的速度也是 。換句話說，只要時間 以一個固定的常數 （不管這是不是光速！）與空間相聯繫，那么以 為速度的物體在一切慣性系中的速度都是 。前提是 。

性質

可以證明閔可夫斯基空間的下列性質：

（1）任意兩個時間向量不可能相互正交；

（2）任意一個時間向量都不可能正交於一個光向量；

（3）兩個光向量正交的充分必要條件是它們線性相關。

閔可夫斯基空間的認識

閔可夫斯基世界是存在於一個虛構的四維時空中。所謂四維時空，和四維空間有區別。最明顯的區別是，四維時空中有一維是“類空間”，而四維空間的四個維都是空間。明確地講，四維空間中的四個維，可以視為具有相同性質的，而四維時空的類空間維，和其他三維不具有相同性質。所謂性質相同，其實包含很多方面，不很容易一下都總結出來，但是可以舉幾個常見例子：

（1）例如：在任何一維空間中度量空間長度的方法都是一樣的，這就是因為它們性質相同但我們很明顯地知道，在類空間中度量“類空間長度”的方法，是和在其他三維空間中度量長度的方法完全不同的。閔氏空間中的類空間維，準確來說就是 ict這一維，從取值來說，這一維上面的坐標或長度的取值是 0 或者純虛數，而其他三維空間中的坐標或長度取值一定都是實數。

（2）再比如：一個平面三角形在平直的四維空間中可以任意轉動，而且無論怎么轉，都能保持它作為三角形的標誌性幾何性質，且這些性質不隨時間或者這個四維平直空間變化，但這個三角形在四維時空中的轉動，一定只能是三維的，類空間這一維是不允許這個三角形介入的，如果強制這個三角形介入類空間一維，那么這個三角形就不是原來的三角形了，因為它的幾何性質中包含了隨時間改變的要素，這也會影響這個三角形在三維空間中的“剩餘部分”的幾何性質隨之變化。

因此，四維時空中的“長度”（準確說應該叫做“間隔”），並不是四維空間的長度概念，“間隔”這個概念本身就表明了物體的空間性質與時間性質的相關性，所以相對論中的物體運動的時間坐標和空間坐標是互相影響的，牛頓理論就沒有這個性質（牛頓理論的時間坐標不受空間坐標影響，只有空間坐標受時間坐標影響）。時空間隔不變性對應的是“相對性原理”。在牛頓理論的時空模型中，三維空間距離是參考系不變數，無論在哪個參考系下測量同一物體的長度得到的結果都是相同的，這是伽利略變換下的相對性原理的體現。相對論中，無論哪個參考系測量倆事件的四維時空間隔，也都得到相同的結果：四維時空間隔是不變數。

洛倫茲變換保證了“四維時空間隔”在參考系變換下擁有不變。洛倫茲變換是兩個參考系之間的變換關係。通常兩個參考系指的是運動速度不同的兩個參考系，但在四維時空的角度來看，這兩個參考系之間並不存在相對運動，而不過是兩者各坐標軸都擁有一個相同的固定的偏轉角度，所以也稱洛倫茲變換是一種四維時空旋轉變換。這種旋轉並不是三維空間中的那種旋轉，而是嵌入到時間維中一種“四維旋轉”。表現在三維空間中就是有相對運動速度。四維時空間隔是一個標量，標量在坐標變換中肯定是不變的。

從數學角度來說，四維時空間隔不變，體現的是閔氏時空的一種性質，這種性質很類似歐氏空間的性質：幾何不變性。而這種性質，往物理方面考慮，其實就是相對性原理的一種體現。閔氏時空其實不算是歐氏空間的直接推廣，因為它的第四維（時間維）與另外三個維的性質是有很大區別的。不過在數學或者幾何上，兩者有很多的共同之處，比如對距離的定義等等。閔氏時空有一個類別名稱叫做“偽歐氏空間”，這個“偽”字指出了它其實不是四維歐氏空間。四維間隔我們缺乏直觀的體驗，是因為我們（觀測者）在觀測的同時也在時間維中以固定的固有流逝速率“前進”，所以無法直接把握這個既包含空間距離也包含時間距離的思維間隔。