基本介紹
- 中文名：正慣性指數
- 外文名：positive exponential inertial/positive index of inertia
- 所屬領域：數理科學
- 反義詞：負慣性指數
- 相關概念：實二次型、慣性定理等
詳細介紹,相關定理,
詳細介紹
實二次型的規範形(normal form ofreal quadratic form)
任意一個實係數的二次型f(x1，x2：，…，xn)總可以經過實係數的非退化線性替換X=CY化為平方和的形式，稱作實二次型f(x1，x2，…,xn)的規範形，其中平方項的個數r等於二次型的秩．任一實二次型的規範形是唯一的，即若實二次型f(x1，x2，…,xn)經過實係數非退化線性替換X=DZ變成規範形，則有p=q，這就是實二次型慣性定理．在實二次型f(x1，x2，…,xn)的規範形中，正平方項的個數p稱為實二次型的正慣性指數，負平方項的個數r一p稱為實二次型的負慣性指數，正負慣性指數的差p-（r-p）=2p-r稱為實二次型的符號差．在非退化實線性替換下，實二次型的秩、正慣性指數、負摜性指數、符號差都是定值．
把二次型f所化得的標準二次型的平方項的係數中,正的個數和負的個數分別稱為f的正慣性指數和負慣性指數．
正負慣性指數之和=f的秩．
用矩陣的語言來表述即：與一個給定的實對稱矩陣A契約的對角矩陣的對角線元素中,正的個數和負的個數是由A確定的，把這兩個數分別稱為A的正慣性指數和負慣性指數．契約於A的規範對角矩陣是唯一的，其中的自然數p，q就是A的正，負慣性指數．
由慣性定理可知，二次型的正、負慣性指數是由二次型本身唯一確定的．事實上，正(負)慣性指數即為二次型矩陣A的正(負)特徵值的個數．
從化標準形為規範形的過程看到，標準形中正(或負)平方項的個數就是正(或負)慣性指數．因此，雖然一個二次型有不同形式的標準形．但每個標準形中所含正(或負)平方項的個數是一樣的．
相關定理
定理2 實對稱矩陣A的正(負)慣性指數就是它的正(負)特徵值的個數．
推論 兩個實對稱矩陣契約的充分必要條件是它們的正(負)特徵值的個數都相等．
