實二次型(real quadratic form)是一類重要的二次型，指實數域上的二次型，任意實二次型f(x1，x2，…，xn)都可以通過實滿秩線性代換化為形如y21+…+y2p-y2p+1-…-y2r的標準形。這種標準形稱為實二次型f的規範型或正規型，其中r是f的秩，正平方項個數p稱為f的正慣性指數，負平方項個數q=r-p稱為f的負慣性指數，s=p-q稱為f的符號差，實二次型的正、負慣性指數是惟一確定的，此稱為實二次型的慣性定律，亦稱慣性定理。此定理由西爾維斯特(J.J.Sylvester)給出，故亦稱西爾維斯特定理。但他認為不證自明。雅可比(C.G.J.Jacobi)也獨立發現並證明了這個定理。兩個n元實二次型等價的充分必要條件是：它們有相同的秩，且有相同的正慣性指數(或有相同的秩與符號差)。
基本介紹
- 中文名：實二次型
- 外文名：real quadratic form
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：高等代數(二次型)
- 簡介：實數域上的二次型
定義,基本結論,
定義
(1) n元實二次型指的是含有n個變數
的實係數二次齊次多項式
(2) 只有平方項
而沒有交叉項
,i≠j的二次型稱為n元標準二次型
(3)如果對於n階方陣A和B，存在n階可逆矩陣P使B=P'AP，則稱A與B契約，記為
。矩陣之間的契約關係有反身性、對稱性和傳遞性。
(4)所有平方項的係數為±1或0的標準二次型稱為規範二次型
基本結論
(1)對於任何變數值 ，二次型f( )=x'Ax的值恆為0
A=O。
(2)n階方陣A和B等價指的是存在n階可逆矩陣P和Q使得B=PAQ，記為A≌B。
n階方陣A和B相似指的是存在n階可逆矩陣P使得B = P-1AP，記為A~B。
n階方陣A和B契約指的是存在n階可逆矩陣P使得B=P'AP，記為 。
兩個相似的矩陣一定是等價的，兩個契約的矩陣也一定是等價的。但是，反之並不成立，即等價的矩陣未必相似，也未必契約，矩陣相似與矩陣契約是兩個不同的概念，只有當B = P-1AP中的P是正交矩陣時，才同時有B =P'AP，所以，兩個矩陣正交相似與正交契約是一回事。
(3)對於任意一個n元實二次型f=x'Ax ，必存在正交變換x =Py,這裡P是n階正交矩陣，把它化為標準形：
f( )=x'Ax= (Py)'A(Py)=y'P'APy=y'Λy=
其中，λ1,... , λn就是對稱矩陣A的n個特徵值。
(4)對於任意一個n元實二次型f=x'Ax ，必存在可逆線性變換x=Qy，這裡Q是n階可逆矩陣，把它化為標準形
f()=x'Ax= (Qy)'A(Qy)=y'Q'AQy=y'Λy=
其中,
未必是對稱矩陣A的特徵值。
(5)慣性定理 對於任意一個n元實二次型f=x'Ax，必存在可逆線性變換x=Rz，這裡R是n階可逆矩陣，把它化為規範形
f()=x'Ax=
其中k和r是由A唯一確定的(與所採用的變換的選擇無關)。
慣性定理的矩陣形式。對於任意一個n階對稱矩陣A，一定存在n階可逆矩陣R使得
(6)契約判別法。當A與B是同階對稱矩陣時，它們契約若且唯若它們有相同的秩和相同的正慣性指數，因為對稱矩陣的秩就是它的正慣性指數和負慣性指數之和，所以，兩個同階對稱矩陣A與B契約若且唯若它們有相同的正慣性指數和相同的負慣性指數。
