一種特殊的多元多項式.若數域P上的n元多項式各項的次數都等於m，則稱該多項式為n元m次齊次多項式，簡稱m次齊式，亦稱n個變數的m次型。一次型亦稱線性型.兩個n元齊次多項式的乘積仍是齊次多項式，且次數就等於這兩個齊次多項式次數之和.數域P上任一個n元多項式都可以惟一地表示為P上齊次多項式之和。
基本介紹
- 中文名：齊次多項式
- 外文名：homogeneous multinomial
- 學科：數學
- 套用領域：數學、物理
定理,性質,推廣,相關,多項式,高斯引理,分解定理,
定理
若以標準形式給出的多項式
的所有項有相同的次數n，即
則稱為n次齊次多項式或n次型。每一個單項式也被認為是齊次多項式。每一個不等於零的數可以看作是零次齊次式。
性質
齊次多項式有下列性質：
設p(x，y，…，z)為n次型，則
其中，t是不等於零的常數。齊次多項式的積也是齊次多項式。
推廣
齊次多項式有時也稱作代數形式或形式。二次齊次多項式是二次型，在特徵不等於二的域（如實數或複數域）上可以用對稱矩陣表示。代數形式的理論很廣，並在數學及物理中有大量套用。
各項次數(各未知數的指數之和)都相同的代數多項式。例如x2+xy+y2，就是x、y的一個齊二次多項式。
各項次數相同的多項式。例如，3x+5y，3x-4xy+y都是x、y的齊次多項式。前者稱一次齊次式或線性型；後者稱二次齊次式或二次型。
相關
多項式
在數學中，由若干個單項式相加組成的代數式叫做多項式（若有減法：減一個數等於加上它的相反數）。多項式中的每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高項次數，就是這個多項式的次數。其中多項式中不含字母的項叫做常數項。
高斯引理
兩個本原多項式的乘積是本原多項式。
套用高斯引理可證，如果一個整係數多項式可以分解為兩個次數較低的有理係數多項式的乘積，那么它一定可以分解為兩個整係數多項式的乘積。這個結論可用來判斷有理係數多項式的不可約性。關於Q[x]中多項式的不可約性的判斷，還有艾森斯坦判別法：對於整係數多項式，如果有一個素數p能整除αn-1，αn-2，…，α1，α0，但不能整除αn，且pˆ2不能整除常數項α0，那么ƒ(x)在Q上是不可約的。由此可知，對於任一自然數n，在有理數域上xn-2是不可約的。因而，對任一自然數n，都有n次不可約的有理係數多項式。
分解定理
F[x]中任一個次數不小於 1的多項式都可以分解為F上的不可約多項式的乘積，而且除去因式的次序以及常數因子外，分解的方法是惟一的。
當F是複數域C時，根據代數基本定理，可證C[x]中不可約多項式都是一次的。因此，每個復係數多項式都可分解成一次因式的連乘積。
當F是實數域R時，由於實係數多項式的虛根是成對出現的，即虛根的共軛數仍是根，因此R[x]中不可約多項式是一次的或二次的。所以每個實係數多項式都可以分解成一些一次和二次的不可約多項式的乘積。實係數二次多項式αx2+bx+с不可約的充分必要條件是其判別式b2-4αс<0。
當F是有理數域Q時，情況複雜得多。要判斷一個有理係數多項式是否不可約，就較困難。套用本原多項式理論，可把有理係數多項式的分解問題化為整係數多項式的分解問題。一個整係數多項式如其係數是互素的，則稱之為本原多項式。每個有理係數多項式都可表成一個有理數及一個本原多項式的乘積。關於本原多項式有下述重要性質。
