矩陣代數式

矩陣代數式簡介

根據矩陣的性質，矩陣代數式的使用範圍不同。例如相似矩陣代數式只能在相似矩陣之間使用。對等價，相似，契約矩陣代數式，加單位矩陣（或者常量矩陣），不改變矩陣性質，等式仍然成立。矩陣等式“除法”用兩端乘以逆矩陣實現，要求矩陣（因式）可逆。

相似矩陣代數式

矩陣的相似變換（兩端）定義式：

若A ~ B，則(P^-1)AP=B

推理：矩陣A的複合表示形式的相似變換：

1、線性計算式：(P^-1)AP=P^(-1)(lB+kC)P=l(P^-1)BP+k(P^-1)CP

2、矩陣乘法式：(P^-1)AP=(P^-1)BCP=((P^-1)BP)((P^-1)CP)

說明：相似變換符合對矩陣線性計算與乘法的分配律

定理相似矩陣的性質

1、數量性

①det(P^-1)AP=det(P^-1)*detP*detA=detB∴detA=detB

② |λE-A|=|λE-B|

③ 相似矩陣的特徵值相同

④相似矩陣的跡相同（=∑λi用在對角矩陣的全部特徵值)

2、秩

⑤相似矩陣（等價）的秩相同。

3、伴隨矩陣集：

⑥A^-1 ~ B^-1

⑦A^T ~ B^T

4、矩陣計算

⑧與常量矩陣加法運算的相似不變性

任給實數t， tE-A ~ tE-B

⑨冪的相似不變性 A^k ~ B^k

5、構造分塊矩陣

⑩兩對相似矩陣可分別構造兩個對角線分塊矩陣，保持相似不變性。

說明：①|λE-A|=|λE-B| ，但是λE-A=λE-B(-A=-B)不成立。

相似矩陣的特徵值相同，但是特徵向量不同。實際上，矩陣的相似變換是通過特徵向量之間的可逆變換實現的。不一定每一個劃分相似集合中都有對角矩陣。因此A ~ B不一定能都相似一個對角矩陣。

實對稱矩陣代數式

定義式：①A=A^T，A是實對稱矩陣。

定理實對稱矩陣的性質

.1②(A^-1)= (A^-1)^T, A^T, A^*同理。

.2③kA=k(A^T),A+B=(A+B)^T

.3④矩陣與轉置矩陣的相乘得對稱矩陣：

A(A^T)= (A(A^T))^T，同理：(A^T)A。

所以，對稱矩陣都是方陣。

定理實對稱矩陣的正交相似性

任意一個實對稱矩陣，一定相似正交與一個實對角矩陣。即存在一個正交矩陣Q，使得

⑤ (Q^T)AQ= (Q^-1)AQ= Λ

說明：是T的特徵值構成的對角形矩陣。

定理實對稱矩陣的正定性

實對稱矩陣A正定的充要條件是存在可逆矩陣C，使

矩陣代數式

基本介紹