基本介紹
- 中文名：定型二次型
- 外文名：definite quadratic form
- 適用範圍：數理科學
簡介,歷史,實二次型,
簡介
定型二次型數實二次型的類型。
設f(x1,x2,...,xn)是一個實二次型，c1，c2，...，cn是任意n個不全為零的實數。實二次型分類如下：
1.若恆有f(c1,c2,...,cn)>0，則f稱為正定的.
2.若恆有f(c1,c2,...,cn)<O，則f稱為負定的.
3.若恆有f(c1,c2,...,cn)≥0，則f稱為半正定的.
4.若恆有f(c1,c2,...,cn)≤0，則f稱為半負定的.
5.其他情形的f稱為不定的。
正定、半正定、負定、半負定的二次型合稱為定型二次型；不定的二次型稱為不定型二次型。
歷史
高斯(CUauss,C. F.)在1801年出版的《算術的研究》中包含了對二次型的探討。他用行列式表示二次型ax2+ 2bxy+cy2的判別式，還引進了正定、半正定、負定的概念。他引進的負定概念實際上是現在的半負定。
實二次型
(real quadratic form)
實二次型是一類重要的二次型，指實數域上的二次型，任意實二次型f(x1,x2,…,xn)都可以通過實滿秩線性代換化為形如y21+…+y2p-y2p+1-…-y2r的標準形。這種標準形稱為實二次型f的規範型或正規型，其中r是f的秩，正平方項個數p稱為f的正慣性指數，負平方項個數q=r-p稱為f的負慣性指數，s=p-q稱為f的符號差，實二次型的正、負慣性指數是惟一確定的，此稱為實二次型的慣性定律，亦稱慣性定理。此定理由西爾維斯特(J.J.Sylvester)給出，故亦稱西爾維斯特定理。但他認為不證自明。雅可比(C.G.J.Jacobi)也獨立發現並證明了這個定理。兩個n元實二次型等價的充分必要條件是：它們有相同的秩，且有相同的正慣性指數（或有相同的秩與符號差）。
