閔氏距離

閔氏空間

阿爾伯特·愛因斯坦在瑞士蘇黎世聯邦科技大學(Eidgen?ssische Technische Hochschule, ETH; Swiss Federal Institute of Technology)時期的數學老師赫爾曼·閔可夫斯基在愛因斯坦提出狹義相對論之後，於1907年將愛因斯坦與亨德里克·洛侖茲的理論結果重新表述成(3+1)維的時空，其中光速在各個慣性參考系皆為定值，這樣的時空即以其為名，稱為閔可夫斯基時空，或稱閔可夫斯基空間。

定義

設n維空間中有兩點坐標x, y，p為常數，閔式距離定義為

注意：

（1）閔氏距離與特徵參數的量綱有關，有不同量綱的特徵參數的閔氏距離常常是無意義的。

（2）閔氏距離沒有考慮特徵參數間的相關性，而馬哈拉諾比斯距離解決了這個問題。

一些特例

絕對距離

當p=1時，得到絕對值距離，也叫曼哈頓距離（Manhattan distance）、出租汽車距離或街區距離（city block distance）。在二維空間中可以看出，這種距離是計算兩點之間的直角邊距離，相當於城市中出租汽車沿城市街道拐直角前進而不能走兩點連線間的最短距離。絕對值距離的特點是各特徵參數以等權參與進來，所以也稱等混合距離。

歐氏距離

當p=2時，得到歐幾里德距離（Euclidean distance）距離，就是兩點之間的直線距離（以下簡稱歐氏距離）。歐氏距離中各特徵參數是等權的。

切比雪夫距離

令

，得到切比雪夫距離。

馬氏距離

馬氏距離是由印度統計學家馬哈拉諾比斯(P. C. Mahalanobis)提出的，表示數據的協方差距離。它是一種有效的計算兩個未知樣本集的相似度的方法。與歐式距離不同的是它考慮到各種特性之間的聯繫（例如：一條關於身高的信息會帶來一條關於體重的信息，因為兩者是有關聯的）並且是尺度無關的(scale-invariant)，即獨立於測量尺度。

對於一個均值為μ=(μ1,μ2,μ3,…,μp)的∑協方差矩陣為Σ的多變數向量x=(x1，x2 ，x3 ，…,xp ),

其馬氏距離為： Dm(x)=[(x-μ)∑(x-μ)]½

馬氏距離也可以定義為兩個服從同一分布並且其協方差矩陣為Σ的隨機變數向量x與向量y的差異程度:

d(χ, y)= [(χ-y)∑(χ-y)]½

如果協方差矩陣為單位矩陣,那么馬氏距離就簡化為歐式距離,如果協方差矩陣為對角陣,則其也可稱為正規化的歐氏距離。